05 - 三角函数

知识点一 任意角和弧度制

1. 任意角

(1) 角的概念

平面内一条射线绕端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。

💡 说明：角的概念推广后，角可以是任意实数（正角、负角、零角），不再局限于 0° 到 360°。

(2) 象限角

在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。

• 终边在坐标轴上的角，不属于任何象限，叫做轴线角。

(3) 终边相同的角

所有与角 α 终边相同的角（连同角 α 在内），可构成一个集合：

即任意两个终边相同的角，它们相差 360° 的整数倍。

2. 弧度制

(1) 弧度制的定义

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作 1 rad。

一般地，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为 0。

(2) 弧度与角度的换算

(3) 弧长公式与扇形面积公式

💡 弧度制下的弧长和面积公式更为简洁，是弧度制的主要优势。

知识点二 三角函数的概念

1. 任意角的三角函数

设角 α 的终边上任意一点 P(x, y)（不与原点重合），P 到原点的距离为 r = √(x²+y²) > 0，则定义：

💡 说明：三角函数的值只与角 α 的终边位置有关，与点 P 在终边上的位置无关。

2. 三角函数在各象限的符号

记忆口诀： - 正弦：一、二正，三、四负 - 余弦：一、四正，二、三负 - 正切：一、三正，二、四负

或统记为："一全正，二正弦，三正切，四余弦"（第一象限全正，第二象限只有正弦正，第三象限只有正切正，第四象限只有余弦正）。

3. 终边相同的角的三角函数值（诱导公式一）

其中 k ∈ Z。

4. 同角三角函数的基本关系

知识点三 诱导公式

诱导公式汇总

诱导公式记忆口诀

"奇变偶不变，符号看象限"

• 奇变偶不变：k·π/2 ± α 中，k 为奇数时函数名改变（sin ↔ cos，tan ↔ cot），k 为偶数时函数名不变
• 符号看象限：把 α 看作锐角，原函数在 k·π/2 ± α 所在象限的符号即为结果前应取的符号

知识点四 三角函数的图像与性质

1. 正弦函数 y = sin x 的图像与性质

2. 余弦函数 y = cos x 的图像与性质

3. 正切函数 y = tan x 的图像与性质

4. y = A sin(ωx + φ) 的图像与性质

图像变换（两种途径）：

途径一：y = sin x → y = sin(x+φ) → y = sin(ωx+φ) → y = A sin(ωx+φ)

途径二：y = sin x → y = sin(ωx) → y = sin(ωx+φ) → y = A sin(ωx+φ)

⚠️ 注意：先平移后伸缩与先伸缩后平移，平移量的计算方式不同！

知识点五 三角恒等变换

1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

2. 二倍角公式

3. 降幂公式（由二倍角余弦公式推导）

4. 辅助角公式

其中 tan φ = b/a，φ 的终边过点 (a, b)。

💡 应用：辅助角公式用于将同角的正弦与余弦的线性组合化为一个三角函数，便于求最值和周期。

重点例题

例题1 诱导公式求值

题目：求 sin(-600°) 的值。

解析：

答案：√3/2

例题2 同角三角函数关系

题目：已知 sin α = 3/5，且 α 为第二象限角，求 cos α 和 tan α。

解析： 由 sin²α + cos²α = 1：

因为 α 为第二象限角，cos α < 0，所以 cos α = -4/5。

答案：cos α = -4/5，tan α = -3/4

例题3 三角恒等变换

题目：已知 sin α = 3/5，α ∈ (π/2, π)，求 sin 2α 和 cos 2α。

解析： 由 sin α = 3/5，α ∈ (π/2, π)，得 cos α = -4/5。

答案：sin 2α = -24/25，cos 2α = 7/25

易错点提醒

• ⚠️ 弧度与角度的换算：π rad = 180°，不要记错
• ⚠️ 各象限三角函数值的符号：可以用口诀"一全正，二正弦，三正切，四余弦"记忆
• ⚠️ 诱导公式的符号判断：把 α 看作锐角，判断原函数所在的象限符号
• ⚠️ 同角三角函数关系中 sin²α 开方问题：sin α = ±√(1-cos²α)，符号由 α 所在象限决定
• ⚠️ 正切函数定义域：tan α 中 α ≠ π/2 + kπ
• ⚠️ 图像变换的顺序：先平移后伸缩时，平移量是 |φ|；先伸缩后平移时，平移量是 |φ/ω|

方法技巧

1. 诱导公式求值——"化大角为小角"

将任意角通过加减 2π 的整数倍化为 [0, 2π) 内的角，再通过诱导公式化为锐角求值。

步骤：大角 → 终边相同角 → 利用诱导公式 → 锐角三角函数值

2. 根据三角函数值求角

已知三角函数值求角，需要结合： 1. 函数值的符号 → 确定角所在的象限 2. 特殊角的三角函数值 → 确定参考角 3. 诱导公式 → 求出所有满足条件的角

3. 辅助角公式的应用步骤

1. 确定 a 和 b
2. 计算 √(a²+b²)
3. 计算 tan φ = b/a，确定 φ
4. 化为 √(a²+b²)·sin(x+φ)

本章知识框架

第五章 三角函数
├── 任意角和弧度制
│   ├── 任意角
│   │   ├── 正角、负角、零角
│   │   ├── 象限角与轴线角
│   │   └── 终边相同的角（β = α + k·360°）
│   └── 弧度制
│       ├── 弧度与角度的换算（180° = π rad）
│       ├── 弧长公式（l = |α|·r）
│       └── 扇形面积公式（S = 1/2·l·r）
├── 三角函数的概念
│   ├── 任意角的三角函数定义（sin α = y/r，cos α = x/r，tan α = y/x）
│   ├── 三角函数在各象限的符号
│   ├── 诱导公式一（终边相同角）
│   └── 同角三角函数的基本关系
│       ├── sin²α + cos²α = 1
│       └── tan α = sin α / cos α
├── 诱导公式
│   ├── 公式一~六
│   └── 记忆口诀："奇变偶不变，符号看象限"
├── 三角函数的图像与性质
│   ├── y = sin x（奇函数，周期2π，值域[-1,1]）
│   ├── y = cos x（偶函数，周期2π，值域[-1,1]）
│   ├── y = tan x（奇函数，周期π，定义域x≠π/2+kπ）
│   └── y = A sin(ωx+φ)
│       ├── A：振幅
│       ├── ω：角频率（T = 2π/ω）
│       ├── φ：初相
│       └── 图像变换
└── 三角恒等变换
    ├── 两角和与差公式（sin、cos、tan）
    ├── 二倍角公式（sin 2α、cos 2α、tan 2α）
    ├── 降幂公式（sin²α、cos²α）
    └── 辅助角公式（a sin x + b cos x = √(a²+b²)·sin(x+φ)）

教材截图

课后练习

1. 将 150° 化为弧度。

2. 已知角 α 的终边经过点 P(-3, 4)，求 sin α、cos α、tan α。

3. 求值：sin 420°。

4. 已知 sin α = -5/13，且 α 为第四象限角，求 cos α 和 tan α。

5. 求值：cos(-1200°)。

6. 求函数 y = 2 sin(3x + π/6) 的周期和振幅。

7. 化简：sin(π/2 - α)·cos(π - α) + sin(-α)·cos(π/2 + α)。

8. 已知 tan α = 2，求 sin 2α 的值。

9. 求函数 y = sin x + √3 cos x 的最大值。

10. 已知扇形圆心角为 2 rad，半径为 5 cm，求扇形面积。

参考答案

1. 150° = 150 × π/180 = 5π/6 rad。

2. r = √((-3)²+4²) = 5，sin α = 4/5，cos α = -3/5，tan α = -4/3。

3. sin 420° = sin(420°-360°) = sin 60° = √3/2。

4. cos²α = 1 - 25/169 = 144/169，第四象限 cos α > 0，故 cos α = 12/13，tan α = -5/12。

5. cos(-1200°) = cos 1200° = cos(1200°-3×360°) = cos 120° = cos(180°-60°) = -cos 60° = -1/2。

6. ω = 3，周期 T = 2π/3；振幅 A = 2。

7. sin(π/2-α) = cos α，cos(π-α) = -cos α，sin(-α) = -sin α，cos(π/2+α) = -sin α。原式 = cos α·(-cos α) + (-sin α)·(-sin α) = -cos²α + sin²α。

8. 由万能公式：sin 2α = 2tan α/(1+tan²α) = 2×2/(1+4) = 4/5。

9. 辅助角公式：y = 2 sin(x + π/3)，最大值为 2。

10. S = 1/2 × |α| × r² = 1/2 × 2 × 25 = 25 cm²。

📌 笔记区

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