02 - 一元二次函数、方程和不等式

知识点一 等式性质与不等式性质

1. 不等式的定义

用不等号（<、>、≤、≥、≠）连接两个式子所成的式子，叫做不等式。

💡 说明：不等式刻画的是数量之间的大小关系，是数学中描述"不等"关系的基本工具。

2. 比较两数（式）大小的方法

⚠️ 注意：作商法要求两数同号，否则不能直接判断。

3. 不等式的基本性质

⚠️ 易错点：同向不等式不能相减和相除！例如 a > b, c > d 不能推出 a - c > b - d 或 a/c > b/d。

4. 等式性质

知识点二 基本不等式

1. 基本不等式（均值不等式）

若 a > 0，b > 0，则：

当且仅当 a = b 时取等号。

其中 (a + b)/2 叫做正数 a、b 的算术平均数，√(ab) 叫做正数 a、b 的几何平均数。

💡 核心含义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2. 基本不等式的常见变形

3. 基本不等式的应用条件

使用基本不等式求最值时，必须满足三个条件：

⚠️ 易错点：三个条件缺一不可！特别是"三相等"——如果等号不能取到，则最值取不到，需另寻它法。

4. 基本不等式求最值的常见题型

题型一：已知积（和）为定值，求和（积）的最小（大）值

• 若 ab = S（定值），则 a + b ≥ 2√S，当 a = b = √S 时取最小值
• 若 a + b = P（定值），则 ab ≤ (P/2)²，当 a = b = P/2 时取最大值

题型二：配凑法

将表达式变形为 y = x + 1/x 或其变体形式，利用基本不等式。

题型三：常数代换法（"1"的代换）

已知 a + b = 1，求 1/a + 1/b 的最小值。

知识点三 二次函数与一元二次方程、不等式

1. 一元二次不等式的一般形式

2. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图像

3. 三个"二次"的关系

设 ax² + bx + c = 0（a > 0）的两根为 x₁、x₂（x₁ ≤ x₂），则有：

口诀（a > 0 时）：大于取两边，小于取中间。

⚠️ 注意：当 a < 0 时，应先化为 a > 0 的形式（即两边同乘 -1，注意不等号方向改变）。

4. 解一元二次不等式的步骤

1. 化正：使二次项系数 a > 0
2. 求根：求对应方程 ax² + bx + c = 0 的根
3. 画图：画出二次函数的大致图像
4. 写解集：根据图像写出不等式的解集

5. 一元二次不等式恒成立问题

6. 分式不等式的解法

分式不等式通常转化为整式不等式求解：

⚠️ 注意：分式不等式转化为整式不等式时，必须考虑分母不为零。

重点例题

例题1 基本不等式求最值

题目：已知 x > 0，求 y = x + 4/x 的最小值。

解析： 因为 x > 0，由基本不等式：

当且仅当 x = 4/x，即 x = 2 时取等号。

答案：最小值为 4。

例题2 解一元二次不等式

题目：解不等式 x² - 5x + 6 > 0。

解析： Δ = 25 - 24 = 1 > 0

方程 x² - 5x + 6 = 0 的两根为 x₁ = 2，x₂ = 3

因为 a = 1 > 0，所以"大于取两边"：

答案：(-∞, 2) ∪ (3, +∞)

例题3 不等式恒成立问题

题目：若不等式 x² - 2x + k > 0 对一切实数 x 恒成立，求 k 的取值范围。

解析： a = 1 > 0，需要 Δ < 0：

解得 k > 1。

答案：k > 1（即 k ∈ (1, +∞)）

易错点提醒

• ⚠️ 不等式两边同乘负数必须变号：这是最常见的错误，忘了变号会导致解集完全错误
• ⚠️ 同向不等式不能相减相除：a > b, c > d 不能推出 a - c > b - d
• ⚠️ 基本不等式使用的三个条件：一正二定三相等，缺一不可
• ⚠️ 解一元二次不等式时先保证 a > 0：若 a < 0 需要先化为正，不等号方向改变
• ⚠️ 分式不等式转化时注意分母不为零：f(x)/g(x) ≥ 0 中 g(x) ≠ 0
• ⚠️ 恒成立问题中 a = 0 的情况：不要忘记讨论二次项系数为零的特例

方法技巧

1. 基本不等式配凑法

将表达式变形为基本不等式可用的形式：

• 拆项法：x + 4/(x-1) = (x-1) + 4/(x-1) + 1（令 t = x-1）
• 凑系数法：x(1-2x) = 1/2 · 2x(1-2x)，使 2x + (1-2x) = 1 为定值

2. 解一元二次不等式的口诀

看开口、找零点、画草图、写解集

1. 看 a 的符号 → 开口方向
2. 求 Δ 和根 → 零点位置
3. 画抛物线草图 → 确定符号区间
4. 根据不等式符号 → 写出解集

3. 函数思想解不等式

将不等式与函数图像联系起来，借助数形结合思想： - 解不等式即求函数值正（负）的 x 的范围 - 恒成立问题即函数图像始终在 x 轴上方（下方）

本章知识框架

第二章 一元二次函数、方程和不等式
├── 等式性质与不等式性质
│   ├── 不等式的定义
│   ├── 比较大小的方法（作差法、作商法）
│   ├── 不等式的基本性质（8条）
│   └── 等式性质
├── 基本不等式
│   ├── 基本不等式 (a+b)/2 ≥ √(ab)
│   ├── 常见变形（5种）
│   ├── 应用条件（一正二定三相等）
│   └── 求最值题型
│       ├── 直接型
│       ├── 配凑法
│       └── 常数代换法（"1"的代换）
└── 二次函数与一元二次方程、不等式
    ├── 一元二次不等式的一般形式
    ├── 二次函数的图像与 Δ 的关系
    ├── 三个"二次"的关系
    │   ├── 二次函数图像
    │   ├── 一元二次方程的根
    │   └── 一元二次不等式的解集
    ├── 解一元二次不等式的步骤
    ├── 一元二次不等式恒成立问题
    └── 分式不等式的解法

课后练习

1. 比较大小：(x+1)(x+2) 与 (x-1)(x+4)。

2. 已知 a > b > 0，c < d < 0，求证：a-c > b-d。

3. 已知 x > 0，y > 0，且 x + y = 8，求 xy 的最大值。

4. 已知 x > 1，求 y = x + 1/(x-1) 的最小值。

5. 解不等式：2x² - 3x - 2 < 0。

6. 解不等式：-x² + 4x - 3 ≥ 0。

7. 解分式不等式：(x-2)/(x+3) ≥ 0。

8. 若不等式 kx² + 2kx + 2 > 0 对一切实数 x 恒成立，求 k 的取值范围。

9. 已知 a > 0，b > 0，且 1/a + 1/b = 1，求 a + b 的最小值。

10. 已知二次函数 y = x² - 2mx + m + 2 的图像始终在 x 轴上方，求 m 的取值范围。

参考答案

1. (x+1)(x+2) - (x-1)(x+4) = (x²+3x+2) - (x²+3x-4) = 6 > 0，故 (x+1)(x+2) > (x-1)(x+4)。

2. 由 c < d < 0 得 -c > -d > 0，又 a > b > 0，由同向不等式可加性得 a + (-c) > b + (-d)，即 a-c > b-d。

3. 由基本不等式：xy ≤ ((x+y)/2)² = (8/2)² = 16，当 x = y = 4 时取等号。最大值为 16。

4. 令 t = x-1 > 0，则 y = t + 1 + 1/t ≥ 2√(t·1/t) + 1 = 3，当 t = 1 即 x = 2 时取等。最小值为 3。

5. 2x² - 3x - 2 = 0 的根为 x₁ = -1/2，x₂ = 2，a = 2 > 0，"小于取中间"，解集为 (-1/2, 2)。

6. 先化为 x² - 4x + 3 ≤ 0，即 (x-1)(x-3) ≤ 0，解集为 [1, 3]。

7. 等价于 (x-2)(x+3) ≥ 0 且 x ≠ -3，解集为 (-∞, -3) ∪ [2, +∞)。

8. 当 k = 0 时，不等式为 2 > 0，恒成立。当 k ≠ 0 时，需 k > 0 且 Δ = 4k² - 8k < 0，解得 0 < k < 2。综上 0 ≤ k < 2。

9. 由 1/a + 1/b = 1 得 a+b = (a+b)(1/a+1/b) = 2 + b/a + a/b ≥ 2 + 2 = 4，当 a = b = 2 时取等。最小值为 4。

10. 需 Δ = 4m² - 4(m+2) < 0，即 m² - m - 2 < 0，解得 -1 < m < 2。

📌 笔记区

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