05 - 生活中的轴对称

知识点一 轴对称现象

1. 轴对称图形

定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

要点： - 轴对称图形是一个图形自身的性质 - 对称轴是一条直线（不是线段） - 折叠后两边的部分完全重合

生活中的轴对称图形举例： | 类型 | 例子 | | :--- | :--- | | 英文字母 | A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y | | 汉字 | 中、田、日、口、王、十 | | 几何图形 | 等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、圆 | | 自然事物 | 蝴蝶、树叶、人脸（大致） |

2. 两个图形成轴对称

定义：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

💡 说明：成轴对称涉及两个图形，而轴对称图形涉及一个图形。两者有联系——把成轴对称的两个图形看作一个整体，它就是一个轴对称图形。

3. 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系

知识点二 轴对称的性质

1. 对应点所连线段与对称轴的关系

性质1：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

即：对称轴上的任意一点到对应点（对称点）的距离相等，且对应点连线与对称轴垂直。

数学表述：

其中 A 和 A' 是一对对称点，M 是对称轴与 AA' 的交点。

2. 对应线段和对应角的关系

性质2：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中： - 对应线段相等 - 对应角相等

💡 归纳：轴对称本质上就是一种"翻折重合"，重合的部分对应相等。

3. 作已知图形关于某直线的对称图形

步骤： 1. 在原图形上取若干个特殊点（如顶点） 2. 分别作出这些特殊点关于对称轴的对称点 3. 按原图形的连接方式顺次连接所作的对称点 4. 所得图形即为所求的对称图形

关键：找对称点的方法——过已知点作对称轴的垂线，延长至等距离处即得对称点。

知识点三 简单的轴对称图形

1. 等腰三角形

（1）等腰三角形的定义

等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

（2）等腰三角形的性质

性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。

性质2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称"三线合一"）。

💡 "三线合一"的重要性：这是等腰三角形最核心的性质。只要知道 AD 是其中一条（角平分线/中线/高），就可以推出它是另外两条。

性质3：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在的直线（即顶角平分线、底边中线所在的直线）。

（3）等腰三角形的判定

判定方法（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

即：等角对等边。

💡 归纳：等边 ⇔ 等角（性质与判定互为逆命题）。

2. 等边三角形

定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。

性质： - 等边三角形的三个内角都相等，且每一个角都等于 60° - 等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质 - 等边三角形有三条对称轴（每条边上的高所在直线）

判定： - 三条边都相等的三角形是等边三角形 - 三个角都相等的三角形是等边三角形 - 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形

3. 线段的垂直平分线

（1）定义

线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。

（2）性质

性质1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

性质2：线段是轴对称图形，它的对称轴就是它的垂直平分线。

（3）判定

判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（4）尺规作图——作线段的垂直平分线

步骤： 1. 分别以线段两端点 A、B 为圆心，以大于 (1)/(2) AB 的长为半径画弧 2. 两弧相交于两点 M、N 3. 过 M、N 作直线，即为线段 AB 的垂直平分线

4. 角平分线

（1）性质

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

💡 说明："点到两边的距离"指的是点到两边所在直线的垂线段长度。

（2）判定

判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

（3）尺规作图——作已知角的平分线

步骤： 1. 以角的顶点 O 为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于 A、B 2. 分别以 A、B 为圆心，以大于 (1)/(2) AB 的长为半径画弧，两弧在角内部交于点 C 3. 作射线 OC，则 OC 即为 ∠AOB 的平分线

重点例题

例题1 等腰三角形的角度计算

题目：等腰三角形的一个底角是 50°，求它的顶角。

解析： 等腰三角形的两个底角相等，所以另一个底角也是 50°。

答案：80°

例题2 等腰三角形的三线合一

题目：如图，在 △ABC 中，AB = AC，AD 平分 ∠BAC。求证：BD = CD 且 AD ⟂ BC。

解析： 因为 AB = AC，所以 △ABC 是等腰三角形。

又因为 AD 平分顶角 ∠BAC，根据等腰三角形"三线合一"的性质，AD 也是底边 BC 上的中线和高。

所以 BD = CD，AD ⟂ BC。

例题3 垂直平分线的性质应用

题目：如图，MN 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在 MN 上。若 ∠PAB = 30°，求 ∠PBA 的度数。

解析： 因为 MN 是 AB 的垂直平分线，P 在 MN 上，所以 PA = PB。

因此 △PAB 是等腰三角形，∠PBA = ∠PAB = 30°。

答案：30°

例题4 角平分线的性质应用

题目：如图，OC 平分 ∠AOB，P 在 OC 上，PD ⟂ OA，PE ⟂ OB，PD = 5 cm，求 PE。

解析： 因为 OC 平分 ∠AOB，P 在 OC 上，且 PD ⟂ OA，PE ⟂ OB。

根据角平分线的性质（角平分线上的点到角的两边距离相等），得 PE = PD = 5 cm。

答案：5 cm

易错点提醒

• ⚠️ 对称轴是直线：对称轴是一条直线，不是线段。如"线段 AB 的对称轴是它的垂直平分线"不能说成"AB 的垂直平分线段"
• ⚠️ 轴对称图形 vs 两个图形成轴对称：轴对称图形说的是一个图形的特征，成轴对称说的是两个图形的关系
• ⚠️ 等腰三角形腰和底边的区分：相等的两边是腰，另一边是底边。若只知道"三角形有两条边相等"，这两条边就是腰
• ⚠️ "三线合一"使用条件：必须是等腰三角形的顶角平分线/底边中线/底边高才三线合一。普通三角形不适用
• ⚠️ 角平分线上的点到角两边的"距离"：距离是指垂线段的长度，不是任意线段
• ⚠️ 线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在垂直平分线上，不是"连接两点就可以"
• ⚠️ 等腰三角形分类：等腰三角形可能顶角 ≥ 90°（钝角等腰三角形），也可能三个角都 < 90°（锐角等腰三角形）

方法技巧

1. 判断轴对称图形的方法

1. 想象将图形沿某条直线对折
2. 看对折后两边能否完全重合
3. 注意某些图形可能有多条对称轴（如圆形有无数条对称轴，正方形有 4 条，等边三角形有 3 条）

2. 等腰三角形中的角度计算

3. 利用轴对称性质解题

• 遇到折叠问题，可以借助轴对称的性质——对应线段相等、对应角相等、对称轴垂直平分对应点连线
• 求最短路径问题中，经常用到对称转化方法（如"将军饮马"问题）

4. 垂直平分线和角平分线的综合应用

• 证明两条线段相等：考虑是否可以用垂直平分线性质或等腰三角形性质
• 证明点到两边距离相等：考虑角平分线性质
• 尺规作图的本质是通过构造全等三角形（SSS）来作角平分线和垂直平分线

本章知识框架

第5章 生活中的轴对称
├── 轴对称现象
│   ├── 轴对称图形（一个图形）
│   ├── 两个图形成轴对称
│   └── 两者的区别与联系
├── 轴对称的性质
│   ├── 对应点连线被对称轴垂直平分
│   ├── 对应线段相等、对应角相等
│   └── 作对称图形的方法
├── 简单的轴对称图形
├── 等腰三角形
│   ├── 定义：有两条边相等
│   ├── 性质1：等边对等角（底角相等）
│   ├── 性质2：三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高重合）
│   ├── 性质3：等腰三角形是轴对称图形
│   ├── 判定：等角对等边
│   └── 分类：等腰/等边三角形
├── 等边三角形
│   ├── 定义：三条边都相等
│   ├── 性质：每个角 60°，三条对称轴
│   └── 判定方法
├── 线段的垂直平分线
│   ├── 定义：垂直且平分线段
│   ├── 性质：垂直平分线上的点到两端距离相等
│   ├── 判定：到两端距离相等的点在垂直平分线上
│   └── 尺规作图：作垂直平分线
└── 角平分线
    ├── 性质：角平分线上的点到两边距离相等
    ├── 判定：到两边距离相等的点在角平分线上
    └── 尺规作图：作角平分线

📌 笔记区

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