04 - 三角形

知识点一 认识三角形

1. 三角形的定义

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

表示方法：三角形用符号"△"表示，如"△ABC"，读作"三角形 ABC"。

基本要素： - 顶点：三条线段的端点，如 A、B、C - 边：组成三角形的三条线段，如 AB、BC、CA - 角：相邻两边组成的角，如 ∠A、∠B、∠C - 三角形有三条边、三个内角、三个顶点

2. 三角形的分类

（1）按角分类

三角形
├── 锐角三角形（三个内角都是锐角，即都小于 90°）
├── 直角三角形（有一个内角是直角，即等于 90°）
└── 钝角三角形（有一个内角是钝角，即大于 90° 小于 180°）

（2）按边分类

三角形
├── 不等边三角形（三条边都不相等）
└── 等腰三角形（至少有两条边相等）
    ├── 底边和腰不相等的等腰三角形（只有两条边相等）
    └── 等边三角形（三条边都相等，是特殊的等腰三角形）

💡 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形。

3. 三角形的三边关系

定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

应用：判断三条线段能否构成三角形——只需要看较短的两条线段之和是否大于最长的线段即可。

💡 方法：将三条线段长度从小到大排序 a ≤ b ≤ c，若 a + b > c，则能组成三角形；否则不能。

4. 三角形的内角和

定理：三角形三个内角的和等于 180°。

推论： - 直角三角形中，两个锐角互余（和为 90°） - 一个三角形中，最多有一个直角或钝角 - 一个三角形中，至少有两个锐角

直角三角形的表示

直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，记作 Rt△ABC。直角边为 AC、BC，斜边为 AB。

知识点二 三角形的中线、角平分线、高

1. 三角形的中线

定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。

性质： - 三角形有三条中线，它们都在三角形内部 - 三角形的三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心 - 重心将每条中线分为 2 : 1 的两段（重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的 2 倍）

2. 三角形的角平分线

定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。

性质： - 三角形有三条角平分线，它们都在三角形内部 - 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点称为三角形的内心 - 内心到三角形三边的距离相等

⚠️ 注意：三角形的角平分线是一条线段，而一般角的平分线是一条射线，两者有区别。

3. 三角形的高

定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。

性质： - 三角形有三条高 - 三角形的三条高所在的直线相交于一点，这个点称为三角形的垂心 - 锐角三角形：三条高都在三角形内部，垂心在三角形内部 - 直角三角形：两条直角边就是两条高，垂心在直角顶点上 - 钝角三角形：有两条高在三角形外部，垂心在三角形外部

知识点三 图形的全等

1. 全等图形的概念

全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。即形状相同、大小也相同的图形。

全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

表示方法：用"≌"表示全等，读作"全等于"。如 △ABC ≌ △DEF。

2. 全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

3. 寻找对应元素的方法

当 △ABC ≌ △DEF 时，对应关系按字母顺序确定： - A ↔ D 为对应顶点，B ↔ E 为对应顶点，C ↔ F 为对应顶点 - AB ↔ DE 为对应边 - ∠A ↔ ∠D 为对应角

💡 技巧：书写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。

知识点四 三角形全等的条件

1. 三角形全等的判定方法

判定两个三角形全等，至少需要三个条件（其中至少有一条边）。有以下四种判定方法：

（1）SSS（边边边）

三边分别相等的两个三角形全等。（简写为"边边边"或"SSS"）

💡 应用：三角形的稳定性来自 SSS 判定——三边确定了，三角形的形状和大小就唯一确定了。

（2）SAS（边角边）

两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。（简写为"边角边"或"SAS"）

⚠️ 注意：SAS 中的角必须是两条边的夹角，不是任意一个角。"边边角（SSA）"不能判定全等！

（3）ASA（角边角）

两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。（简写为"角边角"或"ASA"）

（4）AAS（角角边）

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（简写为"角角边"或"AAS"）

2. 四种判定方法总结

⚠️ 不能判定全等的情况：SSA（边边角）和 AAA（角角角）不能判定两个三角形全等。 - SSA 不能判定全等的原因：已知两边和一个非夹角，可能有两种不同的三角形 - AAA 不能判定全等的原因：三个角相等只能说明形状相同（相似），大小不一定相同

知识点五 用尺规作三角形

1. 已知三边作三角形（SSS）

步骤： 1. 作一条线段等于已知边 a 2. 分别以线段的两个端点为圆心，以另两条已知边 b、c 的长为半径画弧 3. 两弧的交点即为三角形的第三个顶点 4. 连接各顶点，得所求三角形

2. 已知两边及其夹角作三角形（SAS）

步骤： 1. 作一个角等于已知角 2. 在角的两边上分别截取等于已知两边的线段 3. 连接两个截取点，得所求三角形

3. 已知两角及其夹边作三角形（ASA）

步骤： 1. 作一条线段等于已知边 2. 在线段的两个端点处分别作等于已知角的角 3. 两个角的另一边的交点即为第三个顶点 4. 连接各顶点，得所求三角形

知识点六 利用三角形全等测距离

基本原理

利用三角形全等测距离的核心思想是：通过构造全等三角形，将不可直接测量的距离转化为可直接测量的距离。

应用方法

常见模型：

步骤： 1. 实地构造一对可证明全等的三角形 2. 测量可直接量出的边 3. 利用全等三角形对应边相等，得出不可直接测量的距离

💡 思路：构造全等 → 证明全等 → 对应边相等 → 得到所求距离。

重点例题

例题1 三角形三边关系的应用

题目：以下各组线段中，能构成三角形的是（ ）

A. 1, 2, 3 　 B. 2, 3, 5 　 C. 3, 4, 5 　 D. 4, 5, 9

解析： 只需检验较短两边之和是否大于最长边：

A. 1 + 2 = 3（等于，不能）
B. 2 + 3 = 5（等于，不能）
C. 3 + 4 = 7 > 5（能构成）
D. 4 + 5 = 9（等于，不能）

答案：C

例题2 三角形内角和

题目：在 △ABC 中，∠A = 50°，∠B = 60°，则 ∠C = ____。

解析：

答案：70°

例题3 全等三角形的判定

题目：如图，AB = AC，D 是 BC 的中点。求证：△ABD ≌ △ACD。

解析： 在 △ABD 和 △ACD 中：

• AB = AC（已知）
• BD = CD（D 是 BC 中点）
• AD = AD（公共边）

所以 △ABD ≌ △ACD (SSS)。

例题4 全等三角形的性质应用

题目：已知 △ABC ≌ △DEF，AB = 5，∠E = 60°，求 DE 的长和 ∠B 的度数。

解析： 因为 △ABC ≌ △DEF，所以对应边相等、对应角相等。

AB 的对应边是 DE，所以 DE = AB = 5。

∠B 的对应角是 ∠E，所以 ∠B = ∠E = 60°。

答案：DE = 5，∠B = 60°

例题5 利用全等三角形测距离

题目：如图，要测量河两岸相对两点 A、B 的距离，可以在 AB 的垂线 BF 上取两点 C、D，使 BC = CD，再作 BF 的垂线 DE，使 A、C、E 在一条直线上。若测得 DE = 30 m，则 AB 的长度是多少？

解析： 由题意可知，BC = CD，∠ABC = ∠EDC = 90°，∠ACB = ∠ECD（对顶角相等）。

在 △ABC 和 △EDC 中： - ∠ABC = ∠EDC - BC = CD - ∠ACB = ∠ECD

所以 △ABC ≌ △EDC (ASA)，从而 AB = DE = 30 m。

答案：30 m

易错点提醒

• ⚠️ 三角形内角和：记住是 180°，不是 360°
• ⚠️ 三边关系：是"任意两边之和大于第三边"，不能只验证一种组合
• ⚠️ 三角形的高：钝角三角形有两条高在三角形外部，画高时要先延长对边
• ⚠️ 三角形的角平分线 vs 角的平分线：三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线
• ⚠️ SSA 不能判定全等：已知两边和一个非夹角，不能唯一确定三角形，可能有两种形状
• ⚠️ 对应关系：书写全等三角形时，对应顶点的字母要在对应的位置，否则不能正确推导对应边和对应角
• ⚠️ ASA vs AAS：ASA 中边是两角的夹边，AAS 中边是其中一角的对边。两种判定方法不同，但都是有效的

方法技巧

1. 证明三角形全等的一般思路

1. 找条件：从已知条件中找边相等和角相等的条件
2. 看隐含条件：公共边、公共角、对顶角、中点、平行线等隐含条件
3. 凑够三个条件：至少有一条边，组成 SSS / SAS / ASA / AAS 之一
4. 规范书写：注明判定方法，如 △ABC ≌ △DEF (SAS)

2. 三角形中求角度的方法

• 内角和公式：∠A + ∠B + ∠C = 180°
• 外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
• 直角三角形的锐角互余：∠A + ∠B = 90°
• 等腰三角形底角相等

3. 利用全等证明线段或角相等的思路

要证线段相等或角相等 → 寻找包含它们的可能全等的三角形 → 证明这两个三角形全等 → 利用全等性质得出结论。

本章知识框架

第4章 三角形
├── 认识三角形
│   ├── 三角形的定义与基本要素
│   ├── 三角形的分类（按角 / 按边）
│   ├── 三角形的三边关系（任意两边之和 > 第三边）
│   └── 三角形的内角和（180°）
├── 三角形的三条重要线段
│   ├── 中线（三条，交于重心）
│   ├── 角平分线（三条，交于内心）
│   └── 高（三条，交于垂心；注意钝角三角形的高）
├── 图形的全等
│   ├── 全等图形的概念
│   ├── 全等三角形的表示（≌）
│   ├── 全等三角形的性质（对应边等，对应角等）
│   └── 寻找对应元素的方法
├── 三角形全等的判定
│   ├── SSS（三边对应相等）
│   ├── SAS（两边及夹角对应相等）
│   ├── ASA（两角及夹边对应相等）
│   ├── AAS（两角及一角的对边对应相等）
│   └── 不能判定全等的情况（SSA、AAA）
├── 用尺规作三角形
│   ├── 已知三边作三角形（SSS）
│   ├── 已知两边及夹角作三角形（SAS）
│   └── 已知两角及夹边作三角形（ASA）
└── 利用三角形全等测距离
    ├── 基本原理
    └── 构造全等三角形的方法

📌 笔记区

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