06 - 概率初步

知识点一 感受可能性

1. 事件的分类

在自然界和人类社会中，各种事件发生的可能性大小不同。根据事件发生的确定性程度，可以将事件分为三类：

💡 关键：判断一个事件的类型，需要注意"在一定条件下"这个前提。条件变了，事件的类型也可能改变。

2. 必然事件

定义：在一定条件下，必然会发生的事件。

特征：发生的可能性为 100%（P = 1）。

3. 不可能事件

定义：在一定条件下，一定不会发生的事件。

特征：发生的可能性为 0（P = 0）。

4. 随机事件

定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。

特征：发生的可能性介于 0 和 1 之间（0 < P < 1）。

💡 注意：随机事件并非"毫无规律"。大量重复试验后，随机事件发生的频率会趋于稳定。

5. 事件的可能性大小

对于随机事件，我们可以比较它们发生的可能性大小。

比较方法： - 概率大的事件发生可能性大 - 概率小的事件发生可能性小

💡 一般事件的可能性分级： - 不可能事件：可能性 = 0 - 不太可能事件：可能性较小（如概率 0.1） - 可能事件：可能性中等 - 很可能事件：可能性较大（如概率 0.9） - 必然事件：可能性 = 1

知识点二 频率的稳定性

1. 频率的概念

频率：在 n 次重复试验中，如果事件 A 发生了 m 次，那么比值 m/n 称为事件 A 发生的频率。

特征： - 0 ≤ 频率 ≤ 1 - 必然事件的频率 = 1 - 不可能事件的频率 = 0 - 随机事件的频率在 0 与 1 之间

2. 频率的稳定性

频率的稳定性：在大量重复试验中，随机事件发生的频率会逐渐稳定到某一个数值附近。

典型例子：

抛硬币实验

历史上几位学者做过的抛硬币实验：

💡 现象：随着抛掷次数的增加，正面朝上的频率越来越接近 0.5。

3. 概率的统计定义

定义：在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 m/n 稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率，记作 P(A) = p。

要点： - 概率是一个理论值（不随试验变化），频率是一个试验值（随试验变化） - 当试验次数足够多时，频率接近概率 - 概率的取值范围：0 ≤ P(A) ≤ 1

知识点三 等可能事件的概率

1. 等可能事件

定义：一个试验中，所有可能发生的结果有有限个，且每个结果发生的可能性都相等，这样就构成了等可能事件。

典型的等可能事件： - 掷一枚均匀硬币，结果有两种等可能情况：正面、反面 - 掷一颗均匀骰子，结果有六种等可能情况：1 点，2 点，3 点，4 点，5 点，6 点 - 从一副洗匀的扑克牌中抽一张，每张被抽到的可能性相同

⚠️ 注意：等可能事件要求（1）结果个数有限；（2）每种结果发生可能性相同。

2. 等可能事件概率的计算公式

如果一次试验有 n 种等可能的结果，其中事件 A 包含 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为：

其中： - n：所有等可能结果的总数 - m：事件 A 包含的结果数（即有利结果数）

记忆口诀：P = {有利结果数}/{所有可能结果数}

3. 典型问题类型

类型一：掷骰子

问题：掷一颗均匀正方体骰子，求点数为偶数的概率。

分析： - 所有可能结果：1, 2, 3, 4, 5, 6（共 n = 6 种） - 有利结果：2, 4, 6（共 m = 3 种）

类型二：摸球问题

问题：一个袋子里有 3 个红球和 2 个白球，除颜色外完全相同。从中任意摸出 1 个球，摸到红球的概率是多少？

分析： - 所有可能结果：5（共 n = 5 种，每个球被摸到的可能性相同） - 有利结果：摸到红球（共 m = 3 个红球）

类型三：转盘问题

问题：一个转盘被平均分成 8 等份，其中红色区域占 3 份，蓝色占 5 份。转动指针，求指针停在红色区域的概率。

分析： - 总面积 8 等份（n = 8） - 红色占 3 份（m = 3）

类型四：抽取卡片问题

问题：有 5 张卡片，分别标有 1, 2, 3, 4, 5。从中随机抽取一张，求抽到的数是质数的概率。

分析： - 所有可能结果：1, 2, 3, 4, 5（n = 5） - 质数：2, 3, 5（m = 3）

⚠️ 注意：1 既不是质数也不是合数。

重点例题

例题1 判断事件类型

题目：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。

(1) 没有水分，种子会发芽。
(2) 367 人中至少有两个人的生日相同。
(3) 小明的数学考试得满分。
(4) 北京明天的最高气温是 20℃。

解析： (1) 不可能事件——种子发芽需要水分。
(2) 必然事件——一年最多 366 天，367 人中至少有两人生日相同（抽屉原理）。
(3) 随机事件——考试得满分是不确定的。
(4) 随机事件——明天的气温不能完全确定。

例题2 计算概率（摸球问题）

题目：一个不透明的袋子里有 4 个白球和 6 个黄球，除颜色外完全相同。小明从袋中随机摸出一个球，求： (1) 摸到白球的概率
(2) 摸到黄球的概率

解析： 总共有 4 + 6 = 10 个球（n = 10），每个球被摸到的可能性相同。

(1) P(摸到白球) = {4}/{10} = {2}/{5}

(2) P(摸到黄球) = {6}/{10} = {3}/{5}

答案：(1) {2}/{5} 　 (2) {3}/{5}

例题3 计算概率（掷骰子）

题目：同时掷两颗均匀正方体骰子，求点数之和为 7 的概率。

解析： 两颗骰子的所有可能结果：6 × 6 = 36 种（n = 36）。

点数之和为 7 的组合有：(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)，共 6 种。

答案：{1}/{6}

例题4 设计游戏使其公平

题目：设计一个游戏，使小明和小红获胜的概率相等。（要求说明游戏的规则和判断公平性的理由）

方案： 掷一枚均匀硬币：正面朝上则小明赢，反面朝上则小红赢。

理由：掷硬币只有两种等可能结果，小明和小红各占一种，获胜概率均为 {1}/{2}，游戏公平。

另一种方案： 摸球游戏：袋中放 3 个红球和 3 个白球。小明选定红球，小红选定白球。随机摸出一个球，摸到谁选的颜色谁获胜。

理由：摸到红球和白球的概率都是 {3}/{6} = {1}/{2}，公平。

易错点提醒

• ⚠️ 事件的分类取决于条件：同一种现象在不同条件下可能是不同类型的事件。如："水烧到 100℃ 会沸腾"在标准大气压下是必然事件，在高海拔地区不一定成立
• ⚠️ 随机事件 ≠ 不可预测：随机事件虽然单次结果不确定，但在大量重复试验中频率有规律可循
• ⚠️ 频率 ≠ 概率：频率是实际试验的结果（可能每次不同），概率是理论值。试验次数足够多时频率接近概率，但不一定完全相等
• ⚠️ 概率公式的前提：P = m/n 只适用于等可能事件，必须确保每种结果发生的可能性相同
• ⚠️ 可能结果要完整：求概率时，首先要列出所有可能的结果，不能遗漏
• ⚠️ 概率的范围：0 ≤ P ≤ 1，概率不可能小于 0 或大于 1

方法技巧

1. 判断事件类型的步骤

1. 明确"条件"
2. 在给定条件下，判断事件是否"一定发生"（必然事件）、"一定不发生"（不可能事件）还是"可能发生也可能不发生"（随机事件）

2. 计算等可能事件概率的方法

步骤一：确定所有等可能结果的总数 n

步骤二：确定有利结果数 m

步骤三：代入公式 P = m/n

常用方法： - 列表法：列出所有可能情况，适合结果数不多的问题 - 树状图法：用树状图表示所有可能情况，适合分步试验问题 - 乘法原理：分步完成的事件，总结果数 = 各步结果数的乘积

3. 判断游戏公平性的方法

游戏的公平性本质上是概率的比较： - 若参与者获胜概率相等 → 游戏公平 - 若参与者获胜概率不等 → 游戏不公平

修改不公平游戏的方法：通过调整条件（如增减球的数量、调整转盘颜色比例等），使各方获胜概率相等。

本章知识框架

第6章 概率初步
├── 感受可能性
│   ├── 必然事件（P = 1，一定会发生）
│   ├── 不可能事件（P = 0，一定不会发生）
│   ├── 随机事件（0 < P < 1，可能发生也可能不发生）
│   └── 事件的可能性大小比较
├── 频率的稳定性
│   ├── 频率的概念（m/n）
│   ├── 频率的稳定性（大量试验后趋于稳定）
│   ├── 频率与概率的关系
│   │   ├── 频率 → 试验值（随试验变化）
│   │   └── 概率 → 理论值（固定值）
│   └── 概率的取值范围：0 ≤ P ≤ 1
├── 等可能事件的概率
│   ├── 等可能事件的条件（结果有限 + 等可能）
│   ├── 概率计算公式：P(A) = m/n
│   ├── 典型问题
│   │   ├── 掷骰子问题
│   │   ├── 摸球问题
│   │   ├── 转盘问题
│   │   └── 抽取卡片问题
│   └── 游戏公平性的判断（通过比较概率）
└── 方法应用
    ├── 列表法（罗列所有可能结果）
    ├── 树状图法（表示分步试验结果）
    └── 乘法原理（计算总结果数）

📌 笔记区

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