03 - 整式及其加减

知识点一 用字母表示数

1. 用字母表示数的意义

定义：用字母代替数字来表示数或数量关系的方法，叫做用字母表示数。

优点： - 解决了特殊与一般的关系 - 更具有一般性和简明性 - 可以表示任意数

💡 归纳：用字母表示数时的书写要求： 1. 数与字母相乘或字母与字母相乘，通常将乘号写作"·"或省略不写 2. 数与字母相乘，数写在字母前面 3. 数字因数为"1"或"-1"时，常省略"1" 4. 当数字因数为带分数时，要写成假分数 5. 除法运算要用分数线 6. 式子后面有单位且式子是和或差的形式时，应把式子用括号括起来

示例： - 3 × a 可以写成 3 · a 或 3a - m × n 可以写成 m · n 或 mn - 1 × ab 写成 ab，-1 × ab 写成 -ab - 2(1)/(3) 与 ab 的积要写成 (7)/(3)ab

⚠️ 注意： - π 表示圆周率，是特定数字的符号，不能当成字母 - 同一问题中不同的数量要用不同的字母表示 - 不同的问题中不同的数量可以用相同的字母表示，但字母的含义不同

2. 用字母表示数量关系

用字母表示问题中的数量关系与用数表示数量关系，在本质上是相同的。

方法： 1. 明确题意 2. 根据题目中所提供的条件发现其中所蕴含的数量关系或规律 3. 利用字母列出式子，将其表达出来

常见数量关系：

💡 拓展：1+2+3+·s+n = (n(n+1))/(2)（n 为正整数）

3. 用字母表示运算律和公式

上图说明：

用字母表示加法运算律： - 交换律：a + b = b + a - 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)

用字母表示乘法运算律： - 交换律：ab = ba - 结合律：(ab)c = a(bc) - 分配律：a(b+c) = ab + ac

用字母表示计算公式： - 长方形周长：C = 2(a+b) - 长方形面积：S = ab - 圆的周长：C = 2π r - 圆的面积：S = π r² - 长方体体积：V = abc - 三角形面积：S = (1)/(2)ah

知识点二 代数式

1. 代数式的概念

代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。

说明： - 单独的一个数或一个字母也是代数式 - 代数式中不含有等号、不等号

示例： - 3a，-5，x+y，(1)/(2)ab，3x²-2x+1 都是代数式 - 3x = 6（含有等号，不是代数式） - x > 5（含有不等号，不是代数式）

2. 列代数式

方法： 1. 认真审题，将问题中表示数量关系的词语正确地转换为对应的运算 2. 注意题目的语言叙述所表示的运算顺序，一般"先读先算" 3. 在复杂的问题中，要明确题意中数量关系的运算顺序，正确使用表明运算顺序的括号，分出层次

常见词语转换：

⚠️ 注意： 1. 在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量 2. 要注意书写的规范性 3. 在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面 4. 含有字母的除法，一般不用"÷"（除号），而是写成分数的形式

3. 代数式的实际意义

代数式的实际意义就是将代数式中的字母及运算符号赋予具体的含义。

示例： - (a+b)² 可以解释为：已知正方形的边长为 a+b，则它的面积为 (a+b)² - 3x+3 可以解释为：小彬每分钟走 x 米，小亮每分钟比小彬多走1米，那么 3x+3 表示小亮3分钟走的路程

💡 方法：描述一个代数式的意义的一般方法： 1. 一般联系实际生活或几何图形等赋予字母一定的现实意义 2. 结合运算符号加以描述 3. 此类题的答案不唯一，但要注意实际问题中的数量关系必须与代数式所表示的相一致

4. 代数式的值

定义：用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值。

方法： 1. 直接代入法：把字母的值直接代入代数式计算 2. 整体代入法：把已知条件变形后，整体代入求值 3. 程序求值法：按照给定的计算程序逐步求值

💡 技巧：在求代数式的值时，有时需要先观察已知条件与所求式子的特点，再变形后整体代入求值，这样可以简化计算。

知识点三 整式

1. 单项式

单项式的概念

单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。

说明： - 单独的一个数或一个字母也是单项式 - 单项式中不含有加减运算 - 分母中含有字母的式子不是单项式

示例： - abc，-5π ab²，y，-5，-(2vt)/(3) 都是单项式 - (x+1)/(2)（含有加法，不是单项式） - (y²)/(x)（分母中含有字母，不是单项式）

单项式的系数

系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

示例：

⚠️ 注意： - 系数包括前面的符号 - 当系数为1或-1时，通常省略1 - π 是数字，不是字母

单项式的次数

次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

示例：

⚠️ 注意： - 单项式的次数仅与字母有关，与系数的指数无关 - 若单项式中的某个字母没有写指数，则这个字母的指数是1 - 单独一个非零数的次数是0

2. 多项式

多项式的概念

多项式：几个单项式的和叫做多项式。

示例： - ab - mn，-(1)/(3)ab² + (1)/(2)，x² + xy + y² 都是多项式

多项式的项

项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。

常数项：不含字母的项叫做常数项。

示例： 多项式 3x² - 2x + 5 中： - 项：3x²，-2x，+5 - 常数项：+5

⚠️ 注意：多项式的每一项都包括它前面的符号，特别注意项的符号为负号时，一定不要漏掉该项的符号。

多项式的次数

次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

示例： - 多项式 2x² - 3x²y² - y 的次数是4（因为 -3x²y² 的次数是 2+2=4） - 多项式 1 + 2ab - ab² 是三次三项式

💡 说明： - 几次几项式：几次看最高次项，几项式看多项式由几个单项式组成 - 如 3x² - 2x + 5 是二次三项式

3. 整式的概念

整式：单项式和多项式统称为整式。

关系：

代数式
├── 整式
│   ├── 单项式
│   └── 多项式
└── 分式（分母中含有字母）

上图说明：

单项式： - 概念：数与字母的乘积的代数式 - 系数：单项式中的数字因数 - 次数：所有字母的指数和

多项式： - 概念：几个单项式的和 - 项：每个单项式叫做多项式的项 - 次数：次数最高的项的次数

知识点四 同类项

1. 同类项的概念

同类项：像 8n 与 5n，2a²b 与 -7a²b 这样所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。

说明： - 几个常数也是同类项 - 同类项都是单项式

💡 归纳：同类项的判断要注意"两相同，两无关"： - "两相同"：一是所含字母相同；二是相同字母的指数分别相同，缺一不可 - "两无关"：同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关 - 如 3m²n 与 -nm²，系数分别为3，-1，字母的排列顺序不同，但 3m²n 与 -nm² 是同类项

示例： - 2x 和 2y（所含字母不同，不是同类项） - a²b 和 ab²（相同字母的指数不同，不是同类项） - π 和 4（都是常数，是同类项） - mn² 和 m²n（相同字母的指数不同，不是同类项）

2. 合并同类项

合并同类项的概念

合并同类项：把同类项合并成一项叫做合并同类项。

合并同类项的法则

合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

简记为：一相加，两不变。

示例： - 8n + 5n = 13n - -7a²b + 2a²b = -5a²b

合并同类项的步骤

1. 找出多项式中的同类项（包括前面的符号）
2. 运用加法交换律和结合律将多项式中的同类项放在一起
3. 把同类项的系数加在一起，字母和字母的指数不变
4. 利用有理数的加法计算出各项系数的和，写出合并后的结果

⚠️ 注意： 1. 合并同类项时，不是同类项的不能合并，要保留下来 2. 交换项的位置时，要连同项的符号一起交换

知识点五 去括号

1. 去括号法则

法则一：括号前是"+"号

把括号和它前面的"+"号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。

法则二：括号前是"-"号

把括号和它前面的"-"号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。

⚠️ 注意： - 括号前是"-"号，去括号时未改变符号是常见错误 - 括号前是"-"号，把括号和它前面的"-"号去掉后，原括号里各项的符号都要改变，不要因只改变部分项的符号而致错

2. 去括号的依据

去括号的依据是乘法分配律： - +(b - c) = +1 × (b - c) = b - c - -(b - c) = -1 × (b - c) = -b + c

知识点六 整式的加减

1. 整式加减的实质

整式的加减，实质就是去括号和合并同类项的综合应用。

步骤： 1. 如果有括号，应先去括号 2. 再合并同类项

💡 注意： 整式的加减的最后结果中： 1. 结果要最简，即结果中不再含有同类项，不再出现括号 2. 一般按照某一字母的降幂或升幂排列 3. 当含字母项的系数出现带分数时，要把带分数转化为假分数

2. 整式加减的应用

应用一：化简求值

先化简整式，再代入求值。

应用二：比较大小

通过作差法比较两个整式的大小。

应用三：探索规律

通过整式的加减探索数字或图形的变化规律。

知识点七 多位数的表示方法

方法：相同字母在不同的数位上所表示的数值不同。

示例： - 2在十位上表示2个10 - 2在百位上表示2个100

一般表示： 若百位数字是 a（a ≠ 0），十位数字是 b，个位数字是 c，则这个三位数可表示为：

💡 方法：用每个数位上的数字乘它所在数位的计数单位，再把所得的单项式相加，是表示多位数的一般方法。

易错点提醒

• ⚠️ 书写规范：数与字母相乘时，数要写在字母前面，乘号省略
• ⚠️ 系数判断：单项式的系数是指单项式中的数字因数，不要把 π 误以为字母
• ⚠️ 次数判断：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，不是数字的指数或某个字母的指数
• ⚠️ 项的符号：多项式的每一项都包括它前面的符号，特别注意负号
• ⚠️ 同类项判断：同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关
• ⚠️ 合并同类项：合并同类项时，不是同类项的不能合并，要保留下来
• ⚠️ 去括号：括号前是"-"号，去括号后括号内各项都要变号
• ⚠️ 整式加减结果：结果中不再含有同类项，不再出现括号

方法技巧

1. 判断单项式的方法

一看是不是单独的数或字母； 二看是不是一个用运算符号把数和字母连接而成的式子； 三看分母中是否含有字母（分母中含有字母的均不是单项式）。

2. 判断同类项的方法

识别同类项从两个方面入手： 1. 看字母是否相同 2. 看相同字母的指数是否相同

💡 口诀："字母要相同，指数要一样，常数项也是同类项"

3. 合并同类项的技巧

合并同类项，法则不能忘。 只求系数和，字母、指数不变样。

4. 去括号的技巧

去括号，看符号： - 括号前面是正号，去掉括号不变号 - 括号前面是负号，去掉括号全变号

5. 整式加减的步骤

1. 去括号（注意符号）
2. 找同类项
3. 合并同类项
4. 整理结果（按降幂或升幂排列）

本章知识框架

第3章 整式及其加减
├── 用字母表示数
│   ├── 用字母表示数的意义和优点
│   ├── 用字母表示数量关系
│   └── 用字母表示运算律和公式
├── 代数式
│   ├── 代数式的概念
│   ├── 列代数式
│   ├── 代数式的实际意义
│   └── 代数式的值
├── 整式
│   ├── 单项式
│   │   ├── 单项式的概念
│   │   ├── 单项式的系数
│   │   └── 单项式的次数
│   └── 多项式
│       ├── 多项式的概念
│       ├── 多项式的项（常数项）
│       └── 多项式的次数
├── 同类项
│   ├── 同类项的概念（两相同，两无关）
│   └── 合并同类项（一相加，两不变）
├── 去括号
│   ├── 括号前是"+"号（不变号）
│   └── 括号前是"-"号（全变号）
└── 整式的加减
    ├── 实质：去括号 + 合并同类项
    └── 应用：化简求值、比较大小、探索规律

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