04 - 基本平面图形

知识点一 线段、射线、直线

1. 线段

定义：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看做线段。

线段的特征： - 一是直的 - 二是有两个端点 - 三是可以度量长度

表示方法： - 用表示端点的两个大写字母表示，如线段 AB（或 BA） - 用一个小写字母表示，如线段 a

⚠️ 注意：线段 AB 和线段 BA 表示同一条线段。

2. 射线

定义：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。

生活中的例子：手电筒、探照灯所射出的光线可以近似地看做射线。

射线的特征： - 一是直的 - 二是有一个端点 - 三是向一方无限延伸

表示方法： - 用两个大写字母表示，表示端点的字母写在前面，如射线 OA - 端点相同，延长方向不同，所表示的射线也不同

⚠️ 注意：射线 OA 和射线 AO 是不同的射线。

3. 直线

定义：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。

直线的特征： - 一是直的 - 二是没有端点 - 三是向两方无限延伸

表示方法： - 用一个小写字母表示，如直线 l - 用表示直线上任意两点的两个大写字母表示，如直线 AB（或 BA）

⚠️ 注意：直线 AB 和直线 BA 表示同一条直线。

4. 线段、射线、直线的区别与联系

💡 归纳： - 线段、射线都是直线的一部分 - 将线段向一个方向延长得到射线，向两个方向延长得到直线 - 直线上两点之间的部分就是线段

5. 直线的基本性质

基本事实：经过两点有且只有一条直线。

简述为：两点确定一条直线。

应用： - 建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线 - 植树时，只要定出两个树坑的位置，就能确定同一行的树坑所在的直线

💡 归纳： - 经过一点可以画无数条直线 - 经过两点可以画一条直线 - 经过三点不一定能画一条直线（当三点不在同一直线上时，不能画一条直线）

知识点二 比较线段的长短

1. 线段的性质

基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短。

简述为：两点之间，线段最短。

应用： - 小明家到学校有三条路可走，一般情况下，小明通常走直路，其中的数学道理就是两点之间线段最短

2. 两点之间的距离

定义：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

⚠️ 注意： - 距离是一个数量，不是图形 - 线段是一个图形，距离是线段的长度 - 不能说"两点之间的线段就是距离"

3. 比较线段长短的方法

方法一：度量法

用刻度尺分别量出两条线段的长度，再比较长度的大小。

方法二：叠合法

将两条线段的一个端点重合，另一个端点放在同一侧，通过观察另一个端点的位置来比较大小。

💡 归纳：比较线段长短的两种方法 - 度量法：用刻度尺测量，比较数值 - 叠合法：将线段叠放在一起，直接观察

4. 线段的中点

定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。

表示：若点 M 是线段 AB 的中点，则：

或

💡 拓展：线段的三等分点、四等分点 - 三等分点：将线段分成三条相等线段的两个点 - 四等分点：将线段分成四条相等线段的三个点

5. 尺规作图：作一条线段等于已知线段

已知：线段 a

求作：线段 AB，使 AB = a

作法： 1. 作一条射线 AC 2. 用圆规量取已知线段 a 的长度 3. 在射线 AC 上截取 AB = a

线段 AB 就是所求作的线段。

💡 归纳：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

知识点三 角

1. 角的定义

定义一（静态定义）：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边。

定义二（动态定义）：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。

角的表示方法：

⚠️ 注意： - 用三个大写字母表示时，顶点字母必须写在中间 - 用一个大写字母表示时，必须确保以该点为顶点的角只有一个

2. 平角和周角

平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。

周角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边重合时，所成的角叫做周角。

关系： - 1周角 = 2平角 = 4直角 = 360° - 1平角 = 2直角 = 180° - 1直角 = 90°

⚠️ 注意：平角不是直线，周角不是射线。平角和周角都是角，都有顶点和两条边。

3. 角的分类

小于平角的角可按大小分成三类：

💡 归纳：角的大小关系 锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角

4. 角的度量单位换算

角的度量单位：度、分、秒

换算关系： - 1° = 60'（1度等于60分） - 1' = 60''（1分等于60秒） - 1° = 3600''

💡 归纳：度、分、秒之间的换算是60进制。

换算方法： - 由度化为分、秒：把度的小数部分化成分，再把分的小数部分化成秒 - 由分、秒化为度：把秒化成分，再把分化成度

5. 方向角

定义：用角度表示方向的角，叫做方向角。

表示方法： - 以正北或正南方向为基准，描述物体所在的方向 - 如"北偏东 30°"、"南偏西 45°"

⚠️ 注意： - 方向角通常写成"北偏东/西 x 度"或"南偏东/西 x 度"的形式 - 东北方向指北偏东 45°，东南方向指南偏东 45°

知识点四 角的比较与运算

1. 比较角的大小

方法一：度量法

用量角器量出角的度数，再比较度数的大小。

方法二：叠合法

将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，通过另一边的位置关系比较大小。

• 如果另一边也重合，那么两个角相等
• 如果一个角的另一边落在另一个角的内部，那么这个角较小
• 如果一个角的另一边落在另一个角的外部，那么这个角较大

⚠️ 注意：角的大小与所画边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度有关。

2. 角的和与差

角的和：如图，∠ ABD = ∠ 1 + ∠ 2

角的差：如图，∠ CBD = ∠ 1 - ∠ 2

💡 归纳：角的和差关系 - 当一个角在另一个角的内部时，可以形成角的差 - 两个相邻的角可以合成一个较大的角

3. 角的平分线

定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

性质：若 OM 平分 ∠ AOB，则：

或

💡 归纳：角平分线的判定 - 若一条射线把一个角分成两个相等的角，则这条射线是这个角的平分线 - 角平分线上的点到角两边的距离相等（后续学习）

知识点五 多边形

1. 多边形的定义

定义：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。

相关概念： - 边：组成多边形的各条线段 - 顶点：相邻两条边的公共端点 - 对角线：连接不相邻两个顶点的线段 - 内角：多边形相邻两边组成的角

2. 多边形的对角线

定义：在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

规律： - 从 n 边形的一个顶点出发，可以引出 (n-3) 条对角线 - 这些对角线将 n 边形分成 (n-2) 个三角形 - n 边形的对角线总条数为：(n(n-3))/(2)

💡 归纳： - 三角形没有对角线 - 四边形从一个顶点出发有1条对角线，共有2条对角线 - 五边形从一个顶点出发有2条对角线，共有5条对角线

3. 正多边形

定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

常见的正多边形： - 正三角形（等边三角形） - 正方形 - 正五边形 - 正六边形 - 正八边形

⚠️ 注意： - 各边相等的多边形不一定是正多边形（如菱形） - 各角相等的多边形不一定是正多边形（如矩形） - 正多边形必须同时满足各边相等和各角相等

知识点六 圆

1. 圆的定义

定义：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。

相关概念： - 圆心：固定的端点 - 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段 - 直径：经过圆心的弦，直径 = 2 × 半径 - 弦：连接圆上任意两点的线段 - 弧：圆上任意两点间的部分

2. 扇形

定义：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

扇形的面积：

其中 n 是圆心角的度数，r 是圆的半径。

💡 归纳： - 一个圆可以分割成若干个扇形，这些扇形的面积的和等于圆的面积 - 扇形的圆心角度数之和等于 360°

易错点提醒

⚠️ 易错点一：线段、射线、直线的表示方法 - 射线 OA 和射线 AO 是不同的射线 - 线段 AB 和线段 BA 是同一条线段 - 直线 AB 和直线 BA 是同一条直线

⚠️ 易错点二：两点之间的距离 - 距离是一个数量（长度），不是图形 - 不能说"两点之间的线段就是距离"，应该说"两点之间线段的长度就是距离"

⚠️ 易错点三：角的表示方法 - 用一个大写字母表示角时，必须确保以该点为顶点的角只有一个 - 用三个大写字母表示时，顶点字母必须写在中间

⚠️ 易错点四：角的大小比较 - 角的大小与所画边的长短无关 - 角的大小只与构成角的两边张开的幅度有关

⚠️ 易错点五：度分秒的换算 - 度、分、秒之间的换算是60进制，不是10进制 - 进行加减运算时，要注意进位和借位

⚠️ 易错点六：角平分线的定义 - 角平分线是一条射线，不是线段 - 角平分线是从角的顶点引出的

方法技巧

💡 技巧一：确定线段（射线、直线）的条数

若一条直线上有 n（n ≥ 1 且 n 为整数）个点，则： - 能确定 (n(n-1))/(2) 条线段 - 能确定 2n 条射线 - 能确定 1 条直线

💡 技巧二：确定角的个数

当图形中有共顶点的 n（n ≥ 2 且 n 为整数）条射线时： - 角的个数为 (n(n-1))/(2)

💡 技巧三：度分秒的运算

• 加法：度与度、分与分、秒与秒分别相加，满60进1
• 减法：度与度、分与分、秒与秒分别相减，不够减时向上一级借1当60
• 乘法：从秒开始乘，满60进1
• 除法：从度开始除，余数化成分再除，以此类推

💡 技巧四：与线段中点有关的计算

利用中点的定义，结合线段的和差关系进行计算。 - 若 M 是 AB 的中点，则 AM = BM = (1)/(2)AB - 若 M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点，则 MN = (1)/(2)(AB + BC)（当 B 在 A、C 之间时）

💡 技巧五：与角平分线有关的计算

利用角平分线的定义，结合角的和差关系进行计算。 - 若 OM 平分 ∠ AOB，则 ∠ AOM = ∠ BOM = (1)/(2)∠ AOB - 若 OM 平分 ∠ AOC，ON 平分 ∠ BOC，则 ∠ MON = (1)/(2)∠ AOB

本章知识框架

基本平面图形
├── 线段、射线、直线
│   ├── 线段：两个端点，可以度量
│   ├── 射线：一个端点，向一方无限延伸
│   ├── 直线：没有端点，向两方无限延伸
│   └── 基本事实：两点确定一条直线
├── 比较线段的长短
│   ├── 线段的性质：两点之间，线段最短
│   ├── 两点之间的距离
│   ├── 比较方法：度量法、叠合法
│   ├── 线段的中点
│   └── 尺规作图
├── 角
│   ├── 角的定义（静态、动态）
│   ├── 角的表示方法
│   ├── 平角和周角
│   ├── 角的分类：锐角、直角、钝角
│   ├── 角的度量单位换算
│   └── 方向角
├── 角的比较与运算
│   ├── 比较方法：度量法、叠合法
│   ├── 角的和与差
│   └── 角的平分线
├── 多边形
│   ├── 多边形的定义
│   ├── 多边形的对角线
│   └── 正多边形
└── 圆
    ├── 圆的定义
    ├── 扇形
    └── 圆心角

图片对应说明