02 - 有理数及其运算

知识点一 有理数

1. 正数和负数

正数

定义：大于0的数叫做正数。

表示方法： - 有时为了突出数的符号，在正数前面加上"+"号，如 +5, +1.2, +(1)/(2) - 正数前面的"+"号可以省略，如 5, 1.2, (1)/(2)

示例：1, 2, 3, 0.5, (1)/(2), 3.14, 10% 等都是正数

负数

定义：在正数前面加上"-"号的数叫做负数。

表示方法： - 负数前面的"-"号不能省略 - 如 -3, -1(1)/(2), -325, -0.5, -(2)/(3)

示例：-1, -2, -3, -0.5, -(1)/(2), -3.14 等都是负数

⚠️ 注意： - 负数前面的"-"号不能省略 - 正数前面的"+"号可以省略

零的意义

1. 0既不是正数，也不是负数
2. 0是正数和负数的分界
3. 0不仅可以表示"没有"，还可以表示特定意义：
4. 0,°{C} 表示一个确定的温度
5. 海拔 0,{m} 表示海平面的平均高度

2. 用正、负数表示具有相反意义的量

相反意义的量

定义：分别由具有相反意义的词表示的两个量，就是具有相反意义的量。

用正、负数表示

为更好地表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，用正数来表示，把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示。

具有相反意义的词

💡 归纳： 1. 具有相反意义的量是成对出现的，单独一个量不能称为相反意义的量 2. 用正、负数表示具有相反意义的量时，要明确"基准" 3. 如：零上 20,°{C} 记作 +20,°{C}，零下 17,°{C} 记作 -17,°{C} 4. 海平面以上 8844,{m} 记作 +8844,{m}，海平面以下 155,{m} 记作 -155,{m}

⚠️ 注意： 符号"+""-"的含义： 1. 加减号：表示运算符号 2. 正负号：是数的性质符号，如"+5"读作"正5"，"-32"读作"负32" 3. 判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带"+"号的数就是正数，带"-"号的数就是负数，如 -(-4) 就不是负数

3. 有理数的概念

有理数的定义

有理数：整数和分数统称为有理数。

说明： - 整数包括：正整数、0、负整数 - 分数包括：正分数、负分数 - 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以它们都是有理数

有理数的分类

上图说明：

分类方法一：按性质符号分类

有理数
├── 正有理数
│   ├── 正整数：如 1, 2, 3, ...
│   └── 正分数：如 1/2, 1/3, 5.2, ...
├── 零：0
└── 负有理数
    ├── 负整数：如 -1, -2, -3, ...
    └── 负分数：如 -1/5, -3.5, -5/6, ...

分类方法二：按定义分类

有理数
├── 整数
│   ├── 正整数：如 1, 2, 3, ...
│   ├── 零：0
│   └── 负整数：如 -1, -2, -3, ...
└── 分数
    ├── 正分数：如 1/2, 1/3, 5.2, ...
    └── 负分数：如 -1/5, -3.5, -5/6, ...

💡 归纳： 1. 到目前为止，我们学过的数可分为五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数 2. 但研究问题时，通常把有理数分为正有理数、零、负有理数三类进行讨论 3. 通常把正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数 4. 正整数和零统称为非负整数（也叫做自然数）

⚠️ 注意： 1. 相对性：正数是相对负数而言的，整数是相对分数而言的 2. 特殊值：0既不是正数，也不是负数，0是自然数也是整数 3. 多属性：同一个数，可能属于多个不同的集合，如 +29 既是正数又是整数 4. 有限小数或无限循环小数都可化为分数

知识点二 数轴

1. 数轴的概念

数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

数轴的三要素：

数轴的画法： 1. 画一条水平直线 2. 在直线上取一点作为原点（表示0） 3. 规定正方向（通常向右），用箭头表示 4. 选取适当长度为单位长度，在直线上标出刻度

⚠️ 注意： - 数轴是一条直线，可以向两端无限延伸 - 单位长度要根据实际需要选取，可以表示1，也可以表示10、100等 - 同一数轴上的单位长度必须统一

2. 数轴上的点与有理数的关系

关系： - 每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 - 正有理数用原点右边的点表示 - 负有理数用原点左边的点表示 - 0用原点表示

比较大小的方法： - 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大 - 正数大于0，负数小于0，正数大于负数 - 两个负数比较大小，绝对值大的反而小

💡 归纳： - 数轴上，右边的数总比左边的数大 - a > b 表示 a 在 b 的右边 - a < b 表示 a 在 b 的左边

3. 利用数轴比较有理数的大小

方法： 1. 在数轴上标出要比较的数 2. 根据"右边的数总比左边的数大"的原则比较

示例： 比较 -3, -1, 0, 2, 4 的大小

在数轴上表示：

<--|----|----|----|----|----|----|----|----|-->
   -4   -3   -2   -1    0    1    2    3    4
              ↑    ↑    ↑         ↑         ↑
             -3   -1    0         2         4

大小关系：-3 < -1 < 0 < 2 < 4

知识点三 绝对值

1. 相反数

相反数的概念

相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。

特别地：0的相反数是0。

示例： - +3 的相反数是 -3 - -5 的相反数是 +5 - 0 的相反数是 0 - +(1)/(2) 的相反数是 -(1)/(2)

相反数的性质

1. 代数性质：a 的相反数是 -a；-a 的相反数是 a
2. 几何性质：在数轴上，互为相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等
3. 运算性质：a + (-a) = 0；若 a + b = 0，则 a 和 b 互为相反数

💡 归纳： - 求一个数的相反数，只需在这个数前面加上"-"号 - 若 a 表示一个数，则 -a 表示 a 的相反数 - 注意：-(-a) = a

2. 绝对值的概念

绝对值的定义

绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。

绝对值的代数意义

说明： - 正数的绝对值是它本身 - 负数的绝对值是它的相反数 - 0的绝对值是0

绝对值的几何意义

在数轴上，|a| 表示数 a 对应的点到原点的距离。

示例： - |+3| = 3，表示 +3 到原点的距离是3 - |-5| = 5，表示 -5 到原点的距离是5 - |0| = 0，表示 0 到原点的距离是0

3. 绝对值的性质

⚠️ 注意： - 绝对值等于它本身的数是正数和0（即非负数） - 绝对值等于它的相反数的数是负数和0（即非正数）

4. 利用绝对值比较有理数的大小

两个负数比较大小的方法： 1. 先求出两个负数的绝对值 2. 比较两个绝对值的大小 3. 绝对值大的负数反而小

示例： 比较 -3 和 -5 的大小

解： - |-3| = 3，|-5| = 5 - 因为 3 < 5 - 所以 -3 > -5

💡 口诀："两个负数比大小，绝对值大的反而小"

知识点四 有理数的加法

1. 有理数加法法则

法则一：同号两数相加

取相同的符号，并把绝对值相加。

示例： - (+3) + (+5) = +8 - (-3) + (-5) = -8

法则二：异号两数相加

绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

示例： - (+5) + (-5) = 0 - (+5) + (-3) = +2 - (+3) + (-5) = -2

法则三：一个数同0相加

仍得这个数。

示例： - (+3) + 0 = +3 - (-5) + 0 = -5

2. 有理数加法的运算律

💡 提示： 运用运算律可以使计算简便： 1. 把正数和负数分别结合相加 2. 把互为相反数的两个数结合相加 3. 把能凑成整数的数结合相加

知识点五 有理数的减法

1. 有理数减法法则

法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

说明： - 减法运算可以转化为加法运算 - 被减数不变，减号变加号，减数变为其相反数

示例： - (+5) - (+3) = (+5) + (-3) = +2 - (+5) - (-3) = (+5) + (+3) = +8 - (-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8 - (-5) - (-3) = (-5) + (+3) = -2

⚠️ 注意： - 减法转化为加法时，被减数不变 - 减号变加号，减数变为其相反数 - 不要误认为减号后面的数都要变号

2. 有理数的加减混合运算

方法： 1. 先把减法转化为加法 2. 省略加号和括号（代数和的形式） 3. 运用加法交换律和结合律进行计算

代数和： 把几个正数、负数的和写成一个省略加号的和的形式，叫做代数和。

示例： (-8) - (-10) + (-6) - (+4)

解： = (-8) + (+10) + (-6) + (-4) （减法变加法） = -8 + 10 - 6 - 4 （省略加号和括号） = (10) + (-8 - 6 - 4) （正数和负数分别结合） = 10 - 18 = -8

💡 技巧： - 可以把"+""-"号看作数的性质符号 - 读作"正、负"，而不是"加、减" - 如 -8 + 10 - 6 - 4 读作"负8、正10、负6、负4的和"

知识点六 有理数的乘法

1. 有理数乘法法则

法则一：两数相乘

同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

示例： - (+3) × (+4) = +12 - (-3) × (-4) = +12 - (+3) × (-4) = -12 - (-3) × (+4) = -12

法则二：任何数与0相乘

都得0。

2. 有理数乘法的运算律

3. 多个有理数相乘

法则： 1. 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定 2. 当负因数有奇数个时，积为负 3. 当负因数有偶数个时，积为正 4. 几个数相乘，如果其中有因数为0，积就等于0

示例： - (-1) × (-2) × (-3) = -6 （3个负因数，奇数个，积为负） - (-1) × (-2) × (-3) × (-4) = +24 （4个负因数，偶数个，积为正） - (-1) × 0 × (-3) = 0 （有因数0，积为0）

💡 口诀："奇负偶正"

4. 倒数的概念

倒数：乘积为1的两个数互为倒数。

说明： - a 的倒数是 (1)/(a)（a ≠ 0） - 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数 - 0没有倒数

示例： - +3 的倒数是 +(1)/(3) - -2 的倒数是 -(1)/(2) - (2)/(3) 的倒数是 (3)/(2)

⚠️ 注意： - 倒数与相反数不同：相反数是符号不同，倒数是分子分母颠倒 - 0没有倒数，因为0不能作除数

知识点七 有理数的除法

1. 有理数除法法则

法则一：除以一个不等于0的数

等于乘这个数的倒数。

示例： - (+6) ÷ (+2) = (+6) × (+(1)/(2)) = +3 - (-6) ÷ (-2) = (-6) × (-(1)/(2)) = +3 - (+6) ÷ (-2) = (+6) × (-(1)/(2)) = -3

法则二：两数相除

同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

示例： - (+8) ÷ (+2) = +4 - (-8) ÷ (-2) = +4 - (+8) ÷ (-2) = -4 - (-8) ÷ (+2) = -4

法则三：0除以任何一个不等于0的数

都得0。

⚠️ 注意： - 0不能作除数 - 除法可以转化为乘法来计算

知识点八 有理数的乘方

1. 乘方的概念

乘方：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

表示方法：

其中： - a 叫做底数 - n 叫做指数 - aⁿ 读作"a 的 n 次方"或"a 的 n 次幂"

示例： - 2³ = 2 × 2 × 2 = 8，读作"2的3次方" - (-3)² = (-3) × (-3) = 9，读作"负3的2次方" - -3² = -(3 × 3) = -9，读作"3的2次方的相反数"

⚠️ 注意： - (-a)ⁿ 与 -aⁿ 的区别： - (-a)ⁿ：底数是 -a，表示 n 个 -a 相乘 - -aⁿ：底数是 a，表示 aⁿ 的相反数 - 当 n 为偶数时，(-a)ⁿ = aⁿ - 当 n 为奇数时，(-a)ⁿ = -aⁿ

2. 乘方的符号法则

💡 归纳： - 正数的任何次幂都是正数 - 负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数 - 0的任何正整数次幂都是0

3. 科学记数法

科学记数法：把一个大于10的数表示成 a × 10ⁿ 的形式（其中 1 ≤ a < 10，n 是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。

说明： - a 是只有一位整数位的数 - n 等于原数的整数位数减1

示例： - 56000000 = 5.6 × 10⁷ - 302000 = 3.02 × 10⁵

💡 方法： 1. 确定 a：将原数的小数点向左移动，使得 a 满足 1 ≤ a < 10 2. 确定 n：小数点移动了几位，n 就是几

知识点九 有理数的混合运算

1. 有理数混合运算的顺序

运算顺序： 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减 2. 同级运算，从左到右依次进行 3. 有括号的，先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号）

优先级：

括号 > 乘方 > 乘除 > 加减

💡 口诀："先乘方，再乘除，最后加减；有括号，先算括号里"

2. 运算中的注意事项

1. 注意符号：每一步运算都要注意结果的符号
2. 灵活运用运算律：适当运用交换律、结合律、分配律可以简化计算
3. 注意运算顺序：不要跳步，严格按照运算顺序进行
4. 分数运算：注意通分和约分

易错点提醒

• ⚠️ 负数的识别：带"-"号的数不一定是负数，如 -(-5) = +5
• ⚠️ 相反数与倒数的区别：相反数是符号相反，倒数是分子分母颠倒
• ⚠️ 绝对值的非负性：|a| ≥ 0，绝对值结果总是非负数
• ⚠️ 减法变加法：减去一个数等于加上这个数的相反数，被减数不变
• ⚠️ 乘方的底数：(-a)ⁿ 与 -aⁿ 不同，注意区分底数
• ⚠️ 科学记数法的 a：必须满足 1 ≤ a < 10
• ⚠️ 运算顺序：严格按照"先乘方，再乘除，最后加减"的顺序
• ⚠️ 符号的处理：多个负数相乘时，用"奇负偶正"判断符号

方法技巧

1. 有理数比较大小的方法

方法一：利用数轴 - 在数轴上，右边的数总比左边的数大

方法二：利用法则 - 正数 > 0 > 负数 - 两个正数，绝对值大的数大 - 两个负数，绝对值大的反而小

2. 绝对值的化简

方法： - 先判断数的正负 - 正数和0的绝对值是它本身 - 负数的绝对值是它的相反数

3. 有理数运算的简便方法

技巧一：凑整法 - 把能凑成整数的数结合在一起

技巧二：拆项法 - 把一个数拆成几个数的和或差

技巧三：逆用分配律 - a × b + a × c = a × (b + c)

4. 科学记数法的还原

方法： - a × 10ⁿ：把 a 的小数点向右移动 n 位 - a × 10^-n：把 a 的小数点向左移动 n 位

本章知识框架

第2章 有理数及其运算
├── 有理数
│   ├── 正数和负数
│   │   ├── 正数（大于0的数）
│   │   ├── 负数（在正数前加"-"号）
│   │   └── 零的意义（既非正数也非负数）
│   ├── 用正、负数表示相反意义的量
│   └── 有理数的分类
│       ├── 按性质符号分类（正有理数、零、负有理数）
│       └── 按定义分类（整数、分数）
├── 数轴
│   ├── 数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）
│   ├── 数轴上的点与有理数的关系
│   └── 利用数轴比较大小
├── 绝对值
│   ├── 相反数（只有符号不同的两个数）
│   ├── 绝对值的概念（数轴上点到原点的距离）
│   ├── 绝对值的性质（非负性等）
│   └── 利用绝对值比较大小
├── 有理数的运算
│   ├── 加法（同号、异号、与0相加）
│   ├── 减法（减去一个数等于加其相反数）
│   ├── 乘法（同号得正、异号得负）
│   ├── 除法（除以一个数等于乘其倒数）
│   ├── 乘方（<span class="formula">a<sup>n</sup></span> 的概念和符号法则）
│   └── 混合运算（先乘方，再乘除，最后加减）
└── 科学记数法
    └── <span class="formula">a × 10<sup>n</sup></span>（<span class="formula">1 ≤ a < 10</span>）

📌 笔记区

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