02 - 机械振动

知识点一 简谐运动

1. 机械振动

机械振动：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧所做的往复运动，简称振动。

💡 实例：钟摆的摆动、弹簧振子的运动、琴弦的振动等。

2. 简谐运动的定义

简谐运动：物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动。

其中，F 为回复力，x 为位移，k 为比例系数，负号表示回复力方向与位移方向相反。

3. 简谐运动的位移-时间关系

或

其中： - A：振幅，表示振动的最大位移 - ω：角频率，ω = 2π/T = 2πf - φ：初相位 - t：时间

知识点二 描述简谐运动的物理量

1. 振幅（A）

振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离。

• 单位：米（m）
• 振幅表示振动的强弱，振幅越大，振动越强
• 振幅是标量

2. 周期（T）和频率（f）

周期：完成一次全振动所需的时间。

频率：单位时间内完成全振动的次数。

或

• 周期单位：秒（s）
• 频率单位：赫兹（Hz）

💡 说明：周期和频率由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。

3. 相位

相位：ωt + φ，描述振动物体在某一时刻的运动状态。

初相位：φ，t = 0 时的相位。

知识点三 简谐运动的图像

1. 振动图像（x-t 图像）

以横轴表示时间 t，纵轴表示位移 x，得到的图像为正弦（或余弦）曲线。

2. 从振动图像获取信息

• 振幅：图像的最大纵坐标值
• 周期：相邻两个相同状态点之间的时间间隔
• 某时刻的位移：对应时刻的纵坐标值
• 某时刻的速度方向：根据曲线斜率的正负判断

知识点四 单摆

1. 单摆的构成

单摆：由一根不可伸长的细线（或细杆）和一个小球（摆球）组成的系统。

理想化条件： - 细线质量不计 - 细线不可伸长 - 摆球可视为质点

2. 单摆的回复力

当摆角 θ 很小时（θ < 5°），单摆的回复力：

其中 L 为摆长，x 为水平位移。

3. 单摆的周期公式

其中： - L：摆长（悬点到摆球重心的距离） - g：重力加速度

💡 说明：单摆的周期与振幅和摆球质量无关，只与摆长和重力加速度有关。这一性质称为单摆的等时性。

4. 单摆的应用

(1) 测量重力加速度

(2) 制作摆钟

利用单摆的等时性制作计时工具。

知识点五 受迫振动与共振

1. 阻尼振动

阻尼振动：由于受到阻力作用，振幅逐渐减小的振动。

特点： - 振幅逐渐减小 - 周期（或频率）不变（由系统本身决定） - 机械能逐渐减小（转化为内能）

2. 受迫振动

受迫振动：系统在驱动力作用下的振动。

特点： - 振动频率等于驱动力的频率 - 与系统的固有频率无关 - 稳定后的振幅与驱动力频率和系统固有频率有关

3. 共振

共振：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅达到最大。

共振条件：

共振曲线：

振幅随驱动力频率变化的曲线，在 f_{驱} = f_{固} 处出现峰值。

💡 实例： - 共振筛（利用共振提高效率） - 桥梁倒塌（避免共振破坏） - 音响共鸣（利用共振增强声音）

易错点提醒

• ⚠️ 简谐运动的条件：回复力必须与位移成正比且方向相反，即 F = -kx。
• ⚠️ 单摆的周期：只与摆长和重力加速度有关，与振幅、摆球质量无关。
• ⚠️ 单摆公式适用条件：摆角小于 5°（或 10°）。
• ⚠️ 共振的条件：驱动力频率等于固有频率，不是相近。
• ⚠️ 振动图像：x-t 图像描述的是一个质点在不同时刻的位移，不是波的图像。

重点例题

例题1 简谐运动的分析

题目：一个弹簧振子做简谐运动，振幅 A = 4 cm，周期 T = 2 s，t = 0 时振子在正向最大位移处。求：（1）振动方程；（2）t = 0.5 s 时的位移和速度方向。

解析：

（1）t = 0 时在正向最大位移处，用余弦表示：

（2）t = 0.5 s 时：

此时振子在平衡位置，速度方向沿负方向（从正向最大位移向平衡位置运动）。

例题2 单摆周期公式的应用

题目：一个单摆在地球表面的周期为 T₁ = 2 s。若将该单摆放到月球表面（g_月 = g/6），求月球上的周期 T₂。

解析：

由 T = 2π√(L/g)：

例题3 振动图像的分析

题目：某质点做简谐运动的振动图像如图所示，从图像中读出振幅、周期，并写出振动方程。

解析：

从图像读出：振幅 A = 5 cm，周期 T = 0.4 s

角频率：ω = 2π/T = 5π rad/s

若 t = 0 时在平衡位置向正方向运动，振动方程为：

例题4 共振问题

题目：一个弹簧振子的固有频率为 f₀ = 2 Hz，现对其施加周期性外力。（1）当驱动力频率为 2 Hz 时，振幅如何？（2）当驱动力频率为 4 Hz 时，稳定后振动的频率是多少？

解析：

（1）当 f_驱 = f₀ = 2 Hz 时，发生共振，振幅达到最大。

（2）受迫振动稳定后的频率等于驱动力频率，与固有频率无关：

💡 注意：受迫振动的频率由驱动力决定，不是固有频率。

方法技巧

1. 简谐运动的对称性

2. 单摆问题的分析方法

3. 振动图像与波动图像的区分

4. 共振曲线分析

• 曲线峰值处 f_驱 = f_固
• 阻尼越小，峰值越高、曲线越尖锐
• 驱动力频率远离固有频率时，振幅较小

本章知识框架

机械振动
├── 简谐运动
│   ├── 定义（F = -kx）
│   ├── 位移-时间关系（x = Asin(ωt + φ)）
│   └── 对称性
├── 描述简谐运动的物理量
│   ├── 振幅 A（标量，振动强弱）
│   ├── 周期 T 和频率 f（T = 1/f）
│   └── 相位（ωt + φ）
├── 简谐运动的图像
│   ├── x-t 图像（正弦/余弦曲线）
│   └── 从图像获取信息
├── 单摆
│   ├── 构成与理想化条件
│   ├── 回复力 F = -(mg/L)x
│   ├── 周期公式 T = 2π√(L/g)
│   ├── 等时性
│   └── 应用（测 g、摆钟）
└── 受迫振动与共振
    ├── 阻尼振动（振幅减小，周期不变）
    ├── 受迫振动（频率 = 驱动力频率）
    └── 共振（f_驱 = f_固，振幅最大）

课后练习

1. （基础） 一个弹簧振子做简谐运动，振幅为 5 cm，周期为 2 s，求振子的振动频率和角频率。
2. （基础） 一单摆的摆长为 1 m，重力加速度取 g = 9.8 m/s²，求该单摆的周期。
3. （基础） 一物体做简谐运动，其振动方程为 x = 0.1sin(2πt + π/4)（单位：m），求振幅、周期、初相位和 t = 0 时的位移。
4. （基础） 一单摆的周期为 2 s，若将摆长缩短为原来的 1/4，求新的周期。
5. （中等） 一弹簧振子的固有频率为 2 Hz，若施加频率为 3 Hz 的驱动力，求稳定后振动的频率。
6. （中等） 一质点做简谐运动，振幅 A = 4 cm，频率 f = 2.5 Hz，求该质点从平衡位置运动到最大位移处所需的最短时间。
7. （中等） 一单摆的摆长为 2.45 m，g = 9.8 m/s²，求单摆的周期；若将摆球质量增大为原来的 2 倍，周期如何变化？
8. （中等） 一物体做简谐运动的振动图像如图所示，从图像中读出振幅、周期，并判断 t = 1 s 时质点的速度方向。（假设图像显示振幅 4 cm，周期 4 s，t = 1 s 处于从正向最大位移向平衡位置运动的过程）
9. （挑战） 一弹簧振子做简谐运动，周期为 0.5 s，振幅为 2 cm，求振子在 t = 1/6 s 时的位移。（以平衡位置为原点，t = 0 时振子位于正向最大位移处）
10. （挑战） 火车车轮每经过铁轨接缝处都会受到一次周期性的撞击，某段铁路每根铁轨长 12.5 m。若车厢的固有周期为 0.5 s，求火车速度为多大时车厢振动最剧烈？

参考答案： 1. f = 1/T = 0.5 Hz；ω = 2π/T = π rad/s 2. T = 2π√(L/g) = 2π√(1/9.8) ≈ 2.01 s 3. 振幅 A = 0.1 m；ω = 2π，周期 T = 1 s；初相位 φ = π/4；t = 0 时，x = 0.1sin(π/4) = 0.1 × √2/2 ≈ 0.0707 m 4. T ∝ √L，摆长变为 1/4，周期变为原来的 1/2，即 T' = 1 s 5. 受迫振动稳定后的频率等于驱动力频率，即 f = 3 Hz 6. 从平衡位置到最大位移处为 T/4，t = T/4 = 1/(4f) = 1/10 = 0.1 s 7. T = 2π√(2.45/9.8) = 2π × 0.5 = π ≈ 3.14 s；单摆周期与摆球质量无关，周期不变 8. 振幅 A = 4 cm；周期 T = 4 s；t = 1 s 时速度方向沿负方向（向平衡位置运动） 9. x = Acos(2πt/T) = 2cos(2π × (1/6) / 0.5) = 2cos(2π/3) = 2 × (-1/2) = -1 cm 10. 共振时驱动力周期等于固有周期，T = 0.5 s，v = L/T = 12.5 / 0.5 = 25 m/s = 90 km/h

📌 笔记区

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