知识点一 平行四边形的性质
1. 平行四边形的定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形。
💡 表示方法：平行四边形 ABCD 记作 ▱ABCD。
2. 平行四边形的性质
| 性质 | 内容 |
|---|---|
| 对边平行 | AB ∥ CD，AD ∥ BC |
| 对边相等 | AB = CD，AD = BC |
| 对角相等 | ∠A = ∠C，∠B = ∠D |
| 邻角互补 | ∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180° |
| 对角线互相平分 | OA = OC，OB = OD |
💡 说明：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。
3. 平行四边形的面积
知识点二 平行四边形的判定
1. 平行四边形的判定方法
| 判定方法 | 内容 |
|---|---|
| 定义法 | 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 |
| 对边相等 | 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 |
| 一组对边平行且相等 | 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 |
| 对角相等 | 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 |
| 对角线互相平分 | 对角线互相平分的四边形是平行四边形 |
2. 判定方法的选择
| 已知条件 | 可选判定方法 |
|---|---|
| 一组对边平行 | 证明另一组对边平行，或证明这组对边相等 |
| 一组对边相等 | 证明另一组对边相等，或证明这组对边平行 |
| 对角线相交 | 证明对角线互相平分 |
| 角的条件 | 证明对角相等，或证明邻角互补 |
知识点三 特殊的平行四边形
1. 矩形
定义
矩形：有一个角是直角的平行四边形。
性质
| 性质 | 内容 |
|---|---|
| 具有平行四边形的所有性质 | — |
| 四个角都是直角 | ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° |
| 对角线相等 | AC = BD |
判定
| 判定方法 | 内容 |
|---|---|
| 定义法 | 有一个角是直角的平行四边形是矩形 |
| 对角线相等 | 对角线相等的平行四边形是矩形 |
| 三个直角 | 有三个角是直角的四边形是矩形 |
2. 菱形
定义
菱形：有一组邻边相等的平行四边形。
性质
| 性质 | 内容 |
|---|---|
| 具有平行四边形的所有性质 | — |
| 四条边都相等 | AB = BC = CD = DA |
| 对角线互相垂直 | AC ⊥ BD |
| 对角线平分对角 | AC 平分 ∠A 和 ∠C，BD 平分 ∠B 和 ∠D |
判定
| 判定方法 | 内容 |
|---|---|
| 定义法 | 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 |
| 四边相等 | 四条边都相等的四边形是菱形 |
| 对角线垂直 | 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 |
3. 正方形
定义
正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。
💡 说明：正方形既是矩形，又是菱形。
性质
| 性质 | 内容 |
|---|---|
| 具有矩形和菱形的所有性质 | — |
| 四条边都相等 | AB = BC = CD = DA |
| 四个角都是直角 | ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° |
| 对角线相等且互相垂直平分 | AC = BD，AC ⊥ BD，OA = OB = OC = OD |
判定
| 判定方法 | 内容 |
|---|---|
| 定义法 | 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 |
| 矩形+菱形 | 既是矩形又是菱形的四边形是正方形 |
| 对角线相等且垂直 | 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 |
知识点四 三角形的中位线
1. 中位线的定义
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段。
2. 中位线定理
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
其中 D、E 分别是 AB、AC 的中点。
💡 应用：中位线定理可以用来证明线段平行、求线段长度、证明线段倍分关系等。
易错点提醒
- ⚠️ 平行四边形的判定：注意区分"两组对边分别平行"和"一组对边平行，另一组对边相等"，后者不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）。
- ⚠️ 矩形和菱形的区别：矩形的特殊性质是"对角线相等"，菱形的特殊性质是"对角线互相垂直"。
- ⚠️ 正方形的判定：证明正方形时，可以先证明是矩形，再证明是菱形；或者先证明是菱形，再证明是矩形。
- ⚠️ 中位线与中线：中位线是连接两边中点的线段，中线是连接顶点与对边中点的线段，不要混淆。
课后练习
- （基础） 在 ▱ABCD 中，∠A = 60°，求 ∠B、∠C、∠D 的度数。
- （基础） 在 ▱ABCD 中，AB = 5 cm，BC = 3 cm，求周长。
- （基础·证明） 证明：对角线相等的平行四边形是矩形。
- （中等） 在菱形 ABCD 中，AC = 6 cm，BD = 8 cm，求菱形的边长和面积。
- （中等） 在 △ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BC = 10 cm，求 DE 的长。
- （中等·选择） 下列条件中，不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ）
- A. AB ∥ CD，AD ∥ BC
- B. AB = CD，AD = BC
- C. AB ∥ CD，AB = CD
-
D. AB ∥ CD，AD = BC
-
（中等） 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 4 cm，求对角线 AC 的长和矩形的面积。
- （中等） 如图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 CE = CB，求 ∠CBE 和 ∠AEB 的度数。
- （挑战） 如图，在 ▱ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 上的点，且 AE = CF。求证：BE = DF 且 BE ∥ DF。
- （挑战） 如图，在四边形 ABCD 中，AB = CD，M、N 分别是 AD、BC 的中点，延长 BA、CD 分别交直线 MN 于点 P、Q。求证：∠BPM = ∠CQM。（提示：连接 BD，取 BD 中点 G，利用三角形中位线定理）
参考答案： 1. ∠B = 120°，∠C = 60°，∠D = 120°（平行四边形邻角互补，对角相等） 2. 周长 = 2 × (5 + 3) = 16 cm 3. 已知 ▱ABCD 中，AC = BD。由平行四边形性质得 OA = OC = AC/2，OB = OD = BD/2，所以 OA = OB = OC = OD。则 △ABC 中，AC = BD，又 AB = AB，BC = AD，所以 △ABC ≌ △BAD（SSS），得 ∠ABC = ∠BAD。又 ∠ABC + ∠BAD = 180°，所以 ∠ABC = 90°，故 ▱ABCD 是矩形。 4. 菱形对角线互相垂直平分，边长 = √((6/2)² + (8/2)²) = √(9 + 16) = 5 cm；面积 = (1/2) × 6 × 8 = 24 cm² 5. 由三角形中位线定理，DE = BC/2 = 5 cm 6. D（一组对边平行，另一组对边相等，可能是等腰梯形） 7. 矩形对角线相等且互相平分，OA = OB。又 ∠AOB = 60°，所以 △AOB 是等边三角形，AC = 2OA = 2AB = 8 cm；BC = √(AC² - AB²) = √(64 - 16) = 4√3 cm；面积 = AB × BC = 16√3 cm² 8. CE = CB，所以 △CBE 是等腰三角形。正方形对角线平分对角，∠ACB = 45°，所以 ∠CBE = ∠CEB = (180° - 45°)/2 = 67.5°；∠AEB = 180° - ∠CEB = 112.5° 9. 由 ▱ABCD 得 AD = BC 且 AD ∥ BC，又 AE = CF，所以 ED = BF 且 ED ∥ BF，四边形 BEDF 是平行四边形，故 BE = DF 且 BE ∥ DF 10. 连接 BD，取 BD 中点 G，连接 MG、NG。由中位线定理，MG ∥ AB 且 MG = AB/2，NG ∥ CD 且 NG = CD/2。又 AB = CD，所以 MG = NG，∠GMN = ∠GNM。由平行关系可得 ∠BPM = ∠CQM
📌 笔记区
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