01 - 数列

知识点1 数列的概念与简单表示法

1. 数列的定义

按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。排在第一位的数称为第1项（首项），记为 a₁。

数列的一般形式可以写成：a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …，简记为 {aₙ}。

💡 说明：数列是按正整数集 N*（或它的有限子集 {1, 2, …, n}）排序的一列数，可以看作定义域为正整数集或其有限子集的函数，自变量从1开始依次取正整数时对应的一列函数值。

2. 数列的分类

3. 通项公式

如果数列 {aₙ} 的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

⚠️ 注意：并非所有数列都有通项公式；同一个数列的通项公式可能不唯一。

例1：写出数列 1, 3, 5, 7, … 的通项公式。

解：aₙ = 2n - 1

例2：已知数列的通项公式为 aₙ = n² - 2n，求第5项。

解：a₅ = 5² - 2×5 = 25 - 10 = 15

4. 递推公式

如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项 aₙ 与它的前一项 aₙ₋₁（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。

例：已知 a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ + 2n，求前4项。

解：a₁ = 1, a₂ = 1 + 2 = 3, a₃ = 3 + 4 = 7, a₄ = 7 + 6 = 13

知识点2 等差数列

1. 定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，用字母 d 表示。

2. 通项公式

该公式可变形为 aₙ = dn + (a₁ - d)，当 d ≠ 0 时，aₙ 是关于 n 的一次函数，其图象是分布在一条直线上的离散点。

例：在等差数列 {aₙ} 中，已知 a₁ = 3，d = 4，求 a₁₀。

解：a₁₀ = 3 + (10 - 1)×4 = 3 + 36 = 39

3. 等差中项

如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。

即 2A = a + b。

4. 前 n 项和公式

等差数列的前n项和公式有两个等价形式：

💡 说明：第一个公式利用首项与第n项的平均值；第二个公式直接用首项和公差表示。当已知 a₁、aₙ、n 时用前者更方便，已知 a₁、d、n 时用后者更方便。

推导（倒序相加法）：Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ，Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + … + a₁，两式相加得 2Sₙ = n(a₁ + aₙ)，故 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。

例：在等差数列 {aₙ} 中，已知 a₁ = 2，d = 3，求 S₁₀。

解：a₁₀ = 2 + 9×3 = 29，S₁₀ = 10×(2 + 29)/2 = 155

5. 等差数列的性质

• 若 m + n = p + q，则 aₘ + aₙ = aₚ + aₛ（特别地，当 m + n = 2p 时，aₘ + aₙ = 2aₚ）
• 等差子数列仍为等差数列（如 a₁, a₃, a₅, … 构成公差为 2d 的等差数列）
• Sₙ, S₂ₙ - Sₙ, S₃ₙ - S₂ₙ 也成等差数列

知识点3 等比数列

1. 定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用字母 q 表示。

2. 通项公式

💡 说明：当 q = 1 时，该数列为常数列。等比数列中各项均不为零。

例：在等比数列 {aₙ} 中，已知 a₁ = 2，q = 3，求 a₅。

解：a₅ = 2 × 3^(5-1) = 2 × 81 = 162

3. 等比中项

如果 a, G, b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。

⚠️ 注意：只有当 a 和 b 同号时，才有等比中项，且等比中项有两个（互为相反数）。

4. 前 n 项和公式

当 q ≠ 1 时：

当 q = 1 时：

推导（错位相减法）：Sₙ = a₁ + a₁q + a₁q² + … + a₁q^(n-1)，两边同乘 q 得 qSₙ = a₁q + a₁q² + … + a₁qⁿ，两式相减得 (1 - q)Sₙ = a₁ - a₁qⁿ = a₁(1 - qⁿ)。

5. 等比数列的性质

• 若 m + n = p + q，则 aₘ · aₙ = aₚ · aₛ（特别地，当 m + n = 2p 时，aₘ · aₙ = aₚ²）
• 等比子数列仍为等比数列
• 等比数列中依次每 k 项的和仍成等比数列（当公比 q ≠ -1 或 k 为奇数时）

知识点4 数列求和常用方法

1. 分组求和法

将数列的各项分成几组，分别求和后再合并。

适用类型：数列由几个可求和数列（如等差 ± 等比）组成。

例：求数列 {n + 2ⁿ} 的前 n 项和。

解：

2. 裂项相消法

将数列的每一项拆分成两项之差，使中间项互相抵消。

常见裂项公式：

• 1 / [n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1)
• 1 / [n(n+k)] = (1/k) · [1/n - 1/(n+k)]
• 1 / [(2n-1)(2n+1)] = 1/2 · [1/(2n-1) - 1/(2n+1)]

例：求 Sₙ = 1/(1×2) + 1/(2×3) + … + 1/[n(n+1)]。

解：Sₙ = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + … + (1/n - 1/(n+1)) = 1 - 1/(n+1) = n/(n+1)

3. 错位相减法

用于求 {aₙ · bₙ} 的前 n 项和，其中 {aₙ} 为等差数列，{bₙ} 为等比数列。

步骤：写出 Sₙ → 两边同乘公比 q → 错位相减 → 用等比数列求和公式化简。

例：求 Sₙ = 1×2 + 2×2² + 3×2³ + … + n×2ⁿ。

解：

两式相减：

易错点提醒

• ⚠️ 数列与集合的区别：数列中的项有顺序，{1, 2, 3} 和 {3, 2, 1} 是不同数列；集合中元素无序
• ⚠️ 通项公式不一定唯一：如数列 1, -1, 1, -1, … 的通项可以是 aₙ = (-1)^(n+1) 或 aₙ = cos(nπ) 等
• ⚠️ 等差数列公差 d 可以为 0：d = 0 时为常数列
• ⚠️ 等比数列公比 q 不能为 0：等比数列中任何一项都不能为 0
• ⚠️ 等比中项有两个：G = ±√(ab)，不要漏掉负值
• ⚠️ 前 n 项和公式要讨论 q = 1：等比数列求和时，必须先判断 q 是否等于 1
• ⚠️ aₙ 与 Sₙ 的关系：aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁（n ≥ 2），a₁ = S₁，求通项时注意验证 n = 1 的情况
• ⚠️ 错位相减法：两式相减后，等比数列部分的项数不要数错
• ⚠️ 裂项相消法：注意消去的是哪些项，首尾各剩余几项

方法技巧

1. 由 Sₙ 求 aₙ 的方法

⚠️ 关键：一定要验证 n = 1 时是否满足 n ≥ 2 时的表达式。若不满足，需要分段表示。

2. 等差数列的判定方法

• 定义法：aₙ - aₙ₋₁ = d（常数）
• 中项法：2aₙ₊₁ = aₙ + aₙ₊₂
• 通项法：aₙ = an + b（关于 n 的一次函数）
• 前n项和法：Sₙ = An² + Bn（关于 n 的二次函数，无常数项）

3. 等比数列的判定方法

• 定义法：aₙ₊₁ / aₙ = q（常数，q ≠ 0）
• 中项法：aₙ₊₁² = aₙ · aₙ₊₂（各项不为0）
• 通项法：aₙ = a₁ · q^(n-1)

4. 数列求和的方法选择

本章知识框架

选择性必修二·第四章 数列
├── 数列的概念
│   ├── 定义与分类（有穷/无穷、递增/递减/常数/摆动）
│   ├── 通项公式
│   └── 递推公式
├── 等差数列
│   ├── 定义（aₙ - aₙ₋₁ = d）
│   ├── 通项公式（aₙ = a₁ + (n-1)d）
│   ├── 等差中项（2A = a + b）
│   ├── 前 n 项和（Sₙ = n(a₁+aₙ)/2）
│   └── 性质
│       ├── 下标和性质（m+n=p+q → aₘ+aₙ=aₚ+a_q）
│       ├── 等差子数列
│       └── Sₙ, S₂ₙ-Sₙ, S₃ₙ-S₂ₙ 成等差
├── 等比数列
│   ├── 定义（aₙ/aₙ₋₁ = q）
│   ├── 通项公式（aₙ = a₁·q^(n-1)）
│   ├── 等比中项（G² = ab）
│   ├── 前 n 项和（Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q)）
│   └── 性质
│       ├── 下标积性质（m+n=p+q → aₘ·aₙ=aₚ·a_q）
│       └── 等比子数列
└── 数列求和
    ├── 分组求和法
    ├── 裂项相消法
    ├── 错位相减法
    └── 倒序相加法

课后练习

1. 已知等差数列 {aₙ} 中，a₃ = 7, a₇ = 19，求 a₁ 和 d。

2. 在等比数列 {aₙ} 中，a₂ = 6, a₅ = 48，求 a₁ 和 q。

3. 求和：Sₙ = 1/(1×3) + 1/(3×5) + 1/(5×7) + … + 1/[(2n-1)(2n+1)]。

4. 已知数列 {aₙ} 的前 n 项和 Sₙ = 2n² + n，求通项公式 aₙ。

5. 已知等差数列 {aₙ} 中，S₁₀ = 100, S₂₀ = 400，求 S₃₀。

6. 求数列 {n·2ⁿ} 的前 n 项和。

参考答案

1. 由 a₃ = a₁ + 2d = 7, a₇ = a₁ + 6d = 19，解得 d = 3, a₁ = 1。

2. 由 a₅/a₂ = q³ = 48/6 = 8，得 q = 2。又 a₁·q = 6，得 a₁ = 3。

3. 裂项：1/[(2n-1)(2n+1)] = (1/2)[1/(2n-1) - 1/(2n+1)]，故 Sₙ = (1/2)[1 - 1/(2n+1)] = n/(2n+1)。

4. 当 n ≥ 2 时，aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = 2n² + n - 2(n-1)² - (n-1) = 4n - 1；当 n = 1 时，a₁ = S₁ = 3，也满足 4×1 - 1 = 3。故 aₙ = 4n - 1。

5. S₁₀, S₂₀ - S₁₀, S₃₀ - S₂₀ 成等差数列，设公差为 D。由 S₁₀ = 100, S₂₀ - S₁₀ = 300，得 D = 200，故 S₃₀ - S₂₀ = 500，S₃₀ = 400 + 500 = 900。

6. 错位相减法：Sₙ = 1·2 + 2·2² + … + n·2ⁿ，2Sₙ = 1·2² + 2·2³ + … + (n-1)·2ⁿ + n·2^(n+1)，相减得 -Sₙ = 2 + 2² + … + 2ⁿ - n·2^(n+1) = 2(2ⁿ-1) - n·2^(n+1)，故 Sₙ = (n-1)·2^(n+1) + 2。

📌 笔记区

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