全等三角形的九大模型

一、全等三角形的常用模型

图1：全等三角形的九大模型及两大构造方法

模型一：平移模型

定义： 沿同一直线平移的两个三角形重合。

解题思路：

① 加（减）共线部分，得到一组对应边相等；

② 利用平行线性质找对应角相等。

模型二：翻折（轴对称）模型

定义： 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合。

解题思路：

① 通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等；

② 通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等。

模型三：手拉手模型

定义： 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形。

解题思路： 加（减）共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等。

模型四：半角模型

定义： 有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等。通过作辅助线将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形。

解题思路： 延长一边，构造全等三角形，从而得到线段之间的数量关系。

模型五：一线三等角模型

定义： 两个三角形有一条边共线；同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1 = ∠2 = ∠3。

解题思路： 利用三角形内角和为 180° 和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用 AAS 或 ASA 证明三角形全等。

模型六：平行线中点模型

定义： 平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移。

典型应用： 已知 AB ∥ CD，点 E、F 分别在直线 AB、CD 上，点 O 为线段 EF 的中点，延长 PO 交 CD 于点 Q，证明 △POE ≌ △QOF。

七、婆罗摩笈多模型（重点）

婆罗摩笈多模型是全等三角形中的核心模型，在中考和竞赛中频繁出现，需要重点掌握。

模型定义

婆罗摩笈多模型涉及等腰直角三角形的组合。如图所示，△ABC 和 △DBE 是等腰直角三角形，连接 AD、CE，M、N 分别在 AD、CE 上，且 MN 经过点 B。

图2：婆罗摩笈多模型原版及例题

图3：婆罗摩笈多模型定义及性质1证明

核心性质

【性质1：垂直得中点】 若 MN ⊥ CE，则有以下三个结论：

结论①： 点 N 是 AD 的中点

结论②： S△CBE = S△ABD

结论③： CE = 2BN

证明过程

证明①（垂直得中点）：

过 A 作 AP ⊥ MN，垂足为 P；过 D 作 DQ ⊥ MN 交 MN 的延长线于 Q。

图4：婆罗摩笈多模型证明②和证明③

证明过程（续）

证明②（面积相等）：

证明③（CE = 2BN）：

核心结论：垂直 → 中点 → 面积相等 → 2倍关系

八、双等腰直角三角形模型（重点）

双等腰直角三角形模型与婆罗摩笈多模型密切相关，是婆罗摩笈多模型的推广形式，需要重点掌握。

四种变体模型

核心思想

① 向外作： 两个等腰直角三角形在原三角形外侧

② 向内作： 两个等腰直角三角形在原三角形内侧

③ 关键： 利用"倍长中线"或"作垂线"构造全等

④ 统一结论： 中点 ↔ 垂直可以互推，且有2倍关系

核心关系：中点 ⟺ 垂直，且存在2倍关系

总结

九大模型核心思想

• 平移模型： 利用平行线和共线关系
• 翻折模型： 利用对称性和公共元素
• 手拉手模型： 利用等腰三角形的对称性
• 半角模型： 角的倍分关系转化为相等关系
• 一线三等角： 利用内角和与外角性质
• 平行线中点： 构造全等转移条件
• 婆罗摩笈多： 等腰直角三角形组合（重点）
• 双等腰直角： 中点与垂直的互推关系（重点）

学习建议： 重点掌握婆罗摩笈多模型和双等腰直角三角形模型，这两个模型在考试中出现频率最高，且结论可以互相推导。婆罗摩笈多模型的核心是"垂直得中点"，双等腰直角三角形模型的核心是"中点与垂直的互推"。

课后练习

一、选择题（每题5分，共25分）

1. 下列模型中，属于利用"共线部分加（减）"构造对应边相等的是（　）

• A. 翻折模型
• B. 平移模型
• C. 手拉手模型
• D. 半角模型

答案：B。平移模型中，通过加（减）共线部分得到一组对应边相等。

2. 在婆罗摩笈多模型中，已知 △ABC 和 △DBE 是等腰直角三角形，MN ⊥ CE，则下列结论不一定正确的是（　）

• A. N 是 AD 的中点
• B. S△CBE = S△ABD
• C. CE = 2BN
• D. AD = CE

答案：D。婆罗摩笈多模型的三个核心结论分别是中点、面积相等和2倍关系，但 AD = CE 并非该模型的一般结论。

3. 一线三等角模型中，若 ∠1 = ∠2 = ∠3 = 60°，且 BC = 6，AC = 8，则判定三角形全等的依据通常是（　）

• A. SSS
• B. SAS
• C. AAS 或 ASA
• D. HL

答案：C。一线三等角模型利用三角形内角和为 180° 以及内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，所以通常用 AAS 或 ASA 证明全等。

4. 在双等腰直角三角形模型中，"向外作、知中点"的结论是（　）

• A. AF ⊥ DE，DE = AF
• B. AF ⊥ DE，DE = 2AF
• C. AF ∥ DE，DE = 2AF
• D. G 是 DE 的中点

答案：B。"向外作、知中点、证垂直"模型的结论是 AF ⊥ DE，DE = 2AF。

5. 下列说法正确的是（　）

• A. 手拉手模型要求两个三角形必须是等边三角形
• B. 半角模型中锐角一定等于直角的一半
• C. 平行线中点模型通过倍长中线构造全等来转移条件
• D. 翻折模型不需要公共边

答案：C。A错误，手拉手模型要求顶角相等的等腰三角形即可；B错误，半角模型是锐角等于较大角的一半，不一定是直角；D错误，翻折模型通常需要借助公共边或公共点。

二、填空题（每题5分，共15分）

6. 在婆罗摩笈多模型中，若 MN ⊥ CE，BN = 5，则 CE = ________。

答案：10。根据结论③，CE = 2BN = 2 × 5 = 10。

7. 在双等腰直角三角形模型中，"向内作、知垂直"可证得 G 是 DE 的 ________，且 BC = ________。

答案：中点；2AG。

8. 全等三角形九大模型中，被视为"重点模型"需要在考试中重点掌握的两个模型是________和________。

答案：婆罗摩笈多模型、双等腰直角三角形模型。

三、证明题（每题10分，共20分）

9. 如图，已知 AB ∥ CD，点 E、F 分别在直线 AB、CD 上，点 O 为线段 EF 的中点，延长 PO 交 CD 于点 Q。求证：△POE ≌ △QOF。

答案（证明）：

∵ AB ∥ CD

∴ ∠PEO = ∠QFO（两直线平行，内错角相等）

又 ∵ O 是 EF 的中点

∴ OE = OF

又 ∠POE = ∠QOF（对顶角相等）

∴ △POE ≌ △QOF（ASA）

10. 如图，△ABC 和 △DBE 是等腰直角三角形，MN ⊥ CE。过 A 作 AP ⊥ MN 于 P，过 D 作 DQ ⊥ MN 交 MN 的延长线于 Q。

（1）求证：△APB ≌ △BMC。

（2）求证：AP = DQ。

答案（证明）：

（1） ∵ ∠1 + ∠3 = 90°，∠1 + ∠2 = 90°

∴ ∠2 = ∠3

又 ∵ AB = BC，∠BMC = ∠APB = 90°

∴ △APB ≌ △BMC（一线三垂直，AAS）

（2） 由（1）得 BM = AP

同理可证 △DQB ≌ △BME，得 DQ = BM

∴ AP = DQ

📌 笔记区

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