知识点一 平均数
1. 算术平均数
算术平均数：一组数据的总和除以数据的个数。
其中，x̄ 表示平均数，n 表示数据的个数。
2. 加权平均数
加权平均数：如果 n 个数 x₁, x₂, ..., xₙ 的权数分别是 w₁, w₂, ..., wₙ，那么：
💡 说明： - "权"表示数据的重要程度 - 权越大，对应的数据对平均数的影响越大 - 算术平均数是加权平均数的特殊情况（各数据的权相等）
知识点二 中位数和众数
1. 中位数
中位数：将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数。
求法： - 当数据个数 n 为奇数时，中位数是第 (n+1)/2 个数 - 当数据个数 n 为偶数时，中位数是第 n/2 个数和第 n/2 + 1 个数的平均数
💡 特点：中位数不受极端值的影响。
2. 众数
众数：一组数据中出现次数最多的数。
💡 说明： - 一组数据可能有一个众数，也可能有多个众数，还可能没有众数 - 众数一定是原数据中的数
3. 平均数、中位数、众数的比较
| 统计量 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|
| 平均数 | 充分利用所有数据 | 受极端值影响 |
| 中位数 | 不受极端值影响 | 没有充分利用所有数据 |
| 众数 | 反映数据的集中趋势 | 可能不唯一或不存在 |
知识点三 方差和标准差
1. 方差
方差：各数据与平均数之差的平方的平均数。
💡 理解：方差反映数据的波动程度（离散程度）。方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定。
2. 标准差
标准差：方差的算术平方根。
💡 说明：标准差的单位与原数据相同，更便于理解。
3. 方差的意义
| 方差大小 | 数据特点 |
|---|---|
| 方差小 | 数据集中，波动小，稳定性好 |
| 方差大 | 数据分散，波动大，稳定性差 |
知识点四 用计算器求统计量
1. 计算器的使用
使用计算器可以方便地求出： - 平均数 - 中位数 - 众数 - 方差 - 标准差
2. 统计量的实际应用
| 场景 | 选用的统计量 |
|---|---|
| 评选优秀班级（综合成绩） | 平均数 |
| 了解收入水平（避免极端值影响） | 中位数 |
| 了解最受欢迎的商品 | 众数 |
| 比较两组数据的稳定性 | 方差或标准差 |
易错点提醒
- ⚠️ 求中位数前先排序：找中位数时必须先将数据按大小顺序排列。
- ⚠️ 中位数的位置：注意区分数据个数是奇数还是偶数。
- ⚠️ 众数可能不唯一：一组数据可能有多个众数，也可能没有众数。
- ⚠️ 方差的单位：方差的单位是原数据单位的平方。
- ⚠️ 方差与稳定性的关系：方差越小，数据越稳定。
课后练习
- （基础） 求数据 3, 5, 7, 9, 11 的平均数、中位数和众数。
- （基础） 某学生五次数学测验的成绩分别为 85, 90, 78, 92, 88，求这五次成绩的平均数和方差。
- （中等） 一组数据 2, 3, x, 5, 7 的平均数为 4，求 x 的值及这组数据的中位数。
- （中等） 甲、乙两名运动员 10 次射击成绩的平均数都是 8 环，甲的方差为 1.2，乙的方差为 0.8，请问哪位运动员的成绩更稳定？
- （中等） 某班 40 名学生数学成绩如下（单位：分）： 78, 82, 85, 88, 90, 92, 95, 78, 80, 85, 87, 89, 91, 93, 96, 79, 81, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 97, 80, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 98, 81, 84, 86, 88, 90, 92, 94 求这组数据的平均数、中位数和众数。
- （中等·选择） 某商场一天内售出某品牌运动鞋 20 双，其中各种尺码鞋的销量如下表：
| 尺码（cm） | 23.5 | 24 | 24.5 | 25 | 25.5 | 26 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 销量（双） | 1 | 3 | 5 | 6 | 3 | 2 |
这组数据的众数和中位数分别是（ ） - A. 25, 24.5 - B. 25, 25 - C. 24.5, 24.5 - D. 24.5, 25
- （中等） 某公司招聘员工，对甲、乙两名应聘者进行面试和笔试，成绩（百分制）如下表：
| 应聘者 | 面试 | 笔试 |
|---|---|---|
| 甲 | 86 | 90 |
| 乙 | 92 | 83 |
如果公司认为面试成绩与笔试成绩同样重要，应该录取谁？如果公司认为面试成绩更重要，按面试成绩占 60%、笔试成绩占 40% 计算，应该录取谁？ 8. （中等） 一组数据 x₁, x₂, ..., xₙ 的平均数为 x̄，方差为 s²。若将这组数据中的每个数都加上 5，得到新数据，求新数据的平均数和方差。 9. （挑战） 甲、乙两组数据如下： - 甲组：10, 9, 11, 12, 10, 8 - 乙组：9, 10, 10, 11, 9, 11 分别计算两组数据的平均数和方差，并比较哪组数据更稳定。 10. （挑战） 某校八年级两个班各 50 名学生参加数学测试，成绩统计如下表：
| 班级 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 一班 | 82 | 81 | 80 | 245 |
| 二班 | 82 | 83 | 85 | 190 |
请从至少两个不同角度分析比较这两个班的成绩。
参考答案： 1. 平均数 = (3+5+7+9+11)/5 = 7；中位数 = 7；没有众数（或说每个数出现次数相同） 2. 平均数 = (85+90+78+92+88)/5 = 86.6；方差 = [(85-86.6)²+(90-86.6)²+(78-86.6)²+(92-86.6)²+(88-86.6)²]/5 = 22.64 3. (2+3+x+5+7)/5 = 4，解得 x = 3；排序后为 2, 3, 3, 5, 7，中位数为 3 4. 乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩更稳定 5. 平均数 = 87.35；排序后第 20、21 个数分别为 87 和 88，中位数 = 87.5；众数为 88 和 90（均出现 4 次） 6. B（众数为销量最多的 25；共 20 个数据，中位数为第 10、11 个数据的平均数，均为 25） 7. 同样重要时：甲平均 = (86+90)/2 = 88，乙平均 = (92+83)/2 = 87.5，录取甲；面试占 60% 时：甲 = 86×0.6+90×0.4 = 87.6，乙 = 92×0.6+83×0.4 = 88.4，录取乙 8. 新平均数 = x̄ + 5；方差不变，仍为 s² 9. 甲组：平均数 = 10，方差 = [(10-10)²+(9-10)²+(11-10)²+(12-10)²+(10-10)²+(8-10)²]/6 = 10/6 ≈ 1.67；乙组：平均数 = 10，方差 = [(9-10)²+(10-10)²×2+(11-10)²×2+(9-10)²+(11-10)²]/6 = 4/6 ≈ 0.67；乙组更稳定 10. （1）两班平均数相同，整体水平相当；（2）二班中位数和众数均高于一班，说明二班成绩中等及以上的学生更多；（3）二班方差小于一班，说明二班成绩更稳定，两极分化较小（答出两点即可）
📌 笔记区
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