知识点一 确定位置的方法
1. 行列定位法
用行数和列数来确定位置，这是最常用的定位方法之一。
生活中的例子： - 电影院的座位：第5排第8座 - 教室的座位：第3行第5列
💡 说明：行列定位法需要两个数据才能确定一个位置。
2. 方向和距离定位法
用方向和距离来确定位置，通常用于航海、测绘等领域。
要素： - 方向：以某一点为参照点，给出目标所在的方向（方位角） - 距离：目标到参照点的距离
表示方法：北偏东30°方向5千米处
3. 经纬度定位法
用经度和纬度确定地球上任意一点的位置。这是全球通用的定位方法。
4. 区域定位法
将整个区域划分为若干个小区块，通过区块编号确定大致范围，再进一步定位。
5. 有序数对
有序数对：有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对，记作 (a, b)。
| 特征 | 说明 |
|---|---|
| 有序性 | (a, b) 与 (b, a) 不同（a ≠ b 时） |
| 唯一性 | 一个有序数对唯一确定一个位置 |
⚠️ 注意：有序数对中的两个数有顺序，交换位置后表示的点一般不同。如 (2, 3) 和 (3, 2) 表示不同的位置。
知识点二 平面直角坐标系
1. 相关概念
平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
| 组成部分 | 说明 |
|---|---|
| x 轴（横轴） | 水平的数轴，向右为正方向 |
| y 轴（纵轴） | 竖直的数轴，向上为正方向 |
| 原点 | 两坐标轴的交点，记作 O(0, 0) |
| 坐标平面 | 坐标轴将平面分成四个象限 |
2. 点的坐标
对于平面内任意一点 P，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线： - 垂足在 x 轴上对应的数 a 叫做点 P 的横坐标 - 垂足在 y 轴上对应的数 b 叫做点 P 的纵坐标 - 有序数对 (a, b) 叫做点 P 的坐标
3. 四个象限
坐标系将平面分为四个象限：
| 象限 | 位置 | 横坐标符号 | 纵坐标符号 | 示例 |
|---|---|---|---|---|
| 第一象限 | 右上 | + | + | (3, 2) |
| 第二象限 | 左上 | - | + | (-3, 2) |
| 第三象限 | 左下 | - | - | (-3, -2) |
| 第四象限 | 右下 | + | - | (3, -2) |
⚠️ 注意：坐标轴上的点不属于任何象限。 - x 轴上的点：纵坐标为 0，即 (a, 0) - y 轴上的点：横坐标为 0，即 (0, b)
4. 特殊直线上的点的坐标特征
| 直线 | 点的坐标特征 |
|---|---|
| x 轴 | 纵坐标为 0：(a, 0) |
| y 轴 | 横坐标为 0：(0, b) |
| 一、三象限角平分线 | 横纵坐标相等：(a, a) |
| 二、四象限角平分线 | 横纵坐标互为相反数：(a, -a) |
5. 与坐标轴平行的直线上的点的特征
| 直线方向 | 点的坐标特征 |
|---|---|
| 平行于 x 轴 | 纵坐标都相等，形如 y = m |
| 平行于 y 轴 | 横坐标都相等，形如 x = n |
6. 点到坐标轴的距离
| 距离 | 计算方法 |
|---|---|
| 点 P(a, b) 到 x 轴的距离 | |
| 点 P(a, b) 到 y 轴的距离 | |
| 点 P(a, b) 到原点的距离 | √{a2 + b2} |
知识点三 坐标与图形的位置
1. 在坐标系中描点
已知点的坐标，在坐标系中描点的方法： 1. 在 x 轴上找到横坐标对应的位置 2. 在 y 轴上找到纵坐标对应的位置 3. 分别过这两个位置作坐标轴的垂线 4. 两条垂线的交点就是所求的点
2. 由点的位置写出坐标
- 过点向 x 轴作垂线，垂足对应的数即为横坐标
- 过点向 y 轴作垂线，垂足对应的数即为纵坐标
- 按 (横坐标, 纵坐标) 的格式写出
3. 建立适当的坐标系描述图形
步骤： 1. 根据图形的特征选择原点（通常选在对称中心、顶点等特殊位置） 2. 确定坐标轴的方向（尽量使图形中的点落在坐标轴上或象限内） 3. 写出图形各顶点的坐标
原则：使表示图形各点的坐标尽可能简单、便于计算。
4. 坐标系中图形的面积
在坐标系中求图形的面积，常通过以下方法： - 利用顶点坐标直接计算 - 将图形分割成规则图形再求面积 - 用割补法（割法、补法）转化为易求面积的图形
知识点四 轴对称与坐标变化
1. 关于 x 轴对称
点 P(a, b) 关于 x 轴对称的点为：
特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
2. 关于 y 轴对称
点 P(a, b) 关于 y 轴对称的点为：
特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数。
3. 关于原点对称
点 P(a, b) 关于原点对称的点为：
特征：横坐标、纵坐标都互为相反数。
4. 三种对称的对比
| 对称类型 | 坐标变换 | 口诀 |
|---|---|---|
| 关于 x 轴对称 | (a, b) → (a, -b) | x 不变，y 变号 |
| 关于 y 轴对称 | (a, b) → (-a, b) | y 不变，x 变号 |
| 关于原点对称 | (a, b) → (-a, -b) | x、y 都变号 |
5. 图形轴对称变换
- 图形关于 x 轴（或 y 轴）对称时，对称的图形全等
- 对称图形上对应点的坐标满足对称规律
- 在坐标系中画出对称图形时，先求出各顶点的对称点坐标，再连线
重点例题
例题1 写出点的坐标并判断所在象限
题目：写出下列各点的坐标，并判断它们分别在第几象限或坐标轴上。 A（x 轴正半轴上，距原点 3 个单位）；B（在第二象限，距 x 轴 2 个单位，距 y 轴 4 个单位）
解析： - A：在 x 轴正半轴上距原点 3，坐标为 (3, 0)，在 x 轴上 - B：第二象限横坐标为负、纵坐标为正，距 y 轴 4 即 |x| = 4（横坐标为 -4），距 x 轴 2 即 |y| = 2（纵坐标为 2），坐标为 (-4, 2)
答案：A (3, 0)，在 x 轴上；B (-4, 2)，在第二象限
例题2 求对称点的坐标
题目：点 P (3, -2) 关于 x 轴、y 轴和原点对称的点的坐标分别是什么？
解析：
| 对称类型 | 坐标变换 | 结果 |
|---|---|---|
| 关于 x 轴对称 | (a, b) → (a, -b) | (3, 2) |
| 关于 y 轴对称 | (a, b) → (-a, b) | (-3, -2) |
| 关于原点对称 | (a, b) → (-a, -b) | (-3, 2) |
例题3 坐标系中的面积
题目：在坐标系中，已知 A(-2, 0)、B(3, 0)、C(1, 4)，求 △ABC 的面积。
解析： AB 在 x 轴上，AB = |3 - (-2)| = 5。点 C 到 x 轴的距离为 |4| = 4。
答案：△ABC 的面积为 10 平方单位。
易错点提醒
- ⚠️ 有序数对的顺序：(a, b) 和 (b, a) 一般不同，第一个数是横坐标，第二个数是纵坐标
- ⚠️ 象限判断：坐标轴上的点不属于任何象限，不要将 (0, 3) 说成第一象限的点
- ⚠️ 距坐标轴的距离：距 x 轴看纵坐标的绝对值，距 y 轴看横坐标的绝对值
- ⚠️ 对称坐标：关于 y 轴对称是横坐标变号（不是纵坐标变号），容易搞混
- ⚠️ 平行于坐标轴的直线：平行于 x 轴的直线上各点纵坐标相等，平行于 y 轴的直线上各点横坐标相等
- ⚠️ 原点到点的距离：是 √{a2 + b2}，利用勾股定理，不是直接加减
方法技巧
1. 根据点的坐标判断位置
- 先看横坐标、纵坐标的符号，判断在第几象限（或在坐标轴上）
- 再看绝对值大小，判断到坐标轴的距离
- 综合确定点的位置
2. 求对称点的坐标
口诀： - 关于谁对称，谁不变 - 关于 x 轴对称 → x 坐标不变 - 关于 y 轴对称 → y 坐标不变 - 关于原点对称 → x、y 都变号
3. 坐标系中求面积的方法
- 直接法：底边在坐标轴上或与坐标轴平行，直接用公式
- 割补法：将不规则图形分割成规则图形，或补成规则图形
- 公式法：利用顶点坐标的面积公式
本章知识框架
第3章 位置与坐标
├── 确定位置的方法
│ ├── 行列定位法
│ ├── 方向和距离定位法
│ ├── 经纬度定位法
│ ├── 区域定位法
│ └── 有序数对 (a, b)
├── 平面直角坐标系
│ ├── 相关概念（x轴、y轴、原点、象限）
│ ├── 点的坐标（横坐标、纵坐标）
│ ├── 四个象限及符号特征
│ ├── 特殊直线上的点的特征
│ └── 点到坐标轴和原点的距离
├── 坐标与图形的位置
│ ├── 在坐标系中描点
│ ├── 由点的位置写坐标
│ ├── 建立坐标系描述图形
│ └── 坐标系中图形的面积
└── 轴对称与坐标变化
├── 关于 x 轴对称：(a, b) → (a, -b)
├── 关于 y 轴对称：(a, b) → (-a, b)
├── 关于原点对称：(a, b) → (-a, -b)
└── 图形轴对称变换
📌 笔记区
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