01 - 整式的乘除

知识点一 同底数幂的乘法

1. 幂的相关概念

幂：求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

其中，a 叫做底数，n 叫做指数，aⁿ 读作 "a 的 n 次方"（或 "a 的 n 次幂"）。

2. 同底数幂的乘法法则

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

（其中 m、n 都是正整数）

推导原理：

推广：同底数幂的乘法法则可以推广到三个或三个以上同底数幂相乘：

💡 规律：底数 a 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。

知识点二 幂的乘方与积的乘方

1. 幂的乘方

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

（其中 m、n 都是正整数）

推导原理：

⚠️ 易错点：区分 a^m · aⁿ（指数相加）和 (a^m)ⁿ（指数相乘）。

2. 积的乘方

积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

（其中 n 是正整数）

推导原理：

推广：三个或三个以上因式的积的乘方同样适用：

💡 记忆口诀：幂的乘方——"指数乘"，积的乘方——"各因式分别乘方"。

知识点三 同底数幂的除法

1. 同底数幂的除法法则

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

（其中 a ≠ 0，m、n 都是正整数，且 m > n）

推导原理：

2. 零指数幂

任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1。

3. 负整数指数幂

任何不等于 0 的数的 -p（p 是正整数）次幂，等于这个数的 p 次幂的倒数。

说明：引入负整数指数幂后，指数的范围从正整数扩大到了全体整数，同底数幂的运算法则对任何整数指数都适用。

4. 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数

绝对值小于 1 的数可以用科学记数法表示为 a × 10^-n 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 为正整数。

规律：n 等于原数中第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前面的那个零）。

知识点四 整式的乘法

1. 单项式与单项式相乘

法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。

步骤： 1. 系数相乘 2. 相同字母的幂相乘（同底数幂相乘，指数相加） 3. 单独的字母连同指数照写

示例：

2. 单项式与多项式相乘

法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

步骤： 1. 用单项式分别去乘多项式的每一项 2. 把所得的积相加

示例：

⚠️ 注意：单项式与多项式相乘时，符号要特别注意。当单项式的系数为负时，去乘多项式的每一项要注意变号。

3. 多项式与多项式相乘

法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

步骤： 1. 用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项 2. 把所得的积相加 3. 合并同类项

示例：

💡 方法技巧：多项式乘以多项式的结果在没有合并同类项前，积的项数等于两个多项式的项数之积。例如：二项式 × 二项式 = 四项式（合并前）。

知识点五 平方差公式

1. 平方差公式

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

公式特征： - 左边是两个二项式相乘，其中一个二项式是两数和，另一个是这两数差 - 右边是这两个数的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方

2. 平方差公式的几何解释

边长为 a 的大正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形，剩余面积 = (a + b)(a - b) = a² - b²。

3. 公式中 a、b 的含义

a 和 b 可以代表具体的数，也可以代表单项式或多项式。

示例：

知识点六 完全平方公式

1. 完全平方公式

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。

记忆口诀：首平方，尾平方，首尾二倍放中央（中间符号看首尾）。

2. 完全平方公式的几何解释

边长为 a + b 的正方形面积 = 两个小正方形面积 + 两个相同矩形面积：

3. 完全平方公式的常见变形

⚠️ 易错点：(a + b)² ≠ a² + b²，不要漏掉 2ab 这一项。

知识点七 整式的除法

1. 单项式除以单项式

法则：单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

步骤： 1. 系数相除 2. 同底数幂相除（指数相减） 3. 只在被除式里含有的字母连同指数照写

示例：

2. 多项式除以单项式

法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

示例：

⚠️ 注意：多项式除以单项式时，一定要用多项式的每一项去除，不能遗漏，同时注意符号。

重点例题

例题1 幂的混合运算

题目：计算：x² · (x³)⁴ ÷ x⁵

解析：

答案：x⁹

例题2 平方差公式的应用

题目：计算：(2x + 3y)(2x - 3y) - (x - y)(x + y)

解析：

答案：3x² - 8y²

例题3 完全平方公式的应用

题目：已知 a + b = 7，ab = 10，求 a² + b² 的值。

解析：

利用变形公式 a² + b² = (a+b)² - 2ab：

答案：29

例题4 整式的综合运算

题目：先化简，再求值：(x+2)(x-2) - x(x-1)，其中 x = 3。

解析：

当 x = 3 时，原式 = 3 - 4 = -1

答案：-1

易错点提醒

• ⚠️ 同底数幂乘法 vs 幂的乘方：同底数幂相乘"指数相加" a^m · aⁿ = a^m+n；幂的乘方"指数相乘" (a^m)ⁿ = a^mn，两者极易混淆
• ⚠️ 积的乘方：(ab)ⁿ = aⁿ bⁿ，不要忘记给每一个因式都乘方
• ⚠️ 平方差公式：(a + b)(a - b) = a² - b²，左边两因式的 a 必须完全相同，b 必须互为相反数
• ⚠️ 完全平方公式：(a ± b)² = a² ± 2ab + b²，千万不要漏掉中间的 ± 2ab
• ⚠️ 负指数幂：a^-p = 1/(a^p)，注意 a ≠ 0
• ⚠️ 零指数幂：a⁰ = 1（a ≠ 0），但 0⁰ 无意义
• ⚠️ 多项式乘多项式：必须用每一项去乘另一多项式的每一项，不能漏乘
• ⚠️ 多项式除以单项式：用多项式的每一项分别去除，符号问题要特别注意

方法技巧

1. 幂的运算技巧

• 先确定符号，再确定绝对值
• 统一化为同底数：遇到不同底数时，先看能否化为同底
• 正确区分运算类型：看清是乘法还是乘方，决定指数是相加还是相乘

2. 乘法公式的巧用

• 识别公式特征：两数和×两数差 → 平方差公式；两项式的平方 → 完全平方公式
• 整体思想：将 (x+y) 等看作一个整体代入公式
• 连续使用公式：如 (a+b)(a-b)(a²+b²) = (a²-b²)(a²+b²) = a⁴-b⁴

3. 整式乘除的验算方法

• 用特殊值代入法验证：取 x = 1 等简单数值，代入原式和结果看是否相等
• 检查结果的次数：积的次数等于各因式次数之和；商的次数等于被除式次数减去除式次数

本章知识框架

第1章 整式的乘除
├── 同底数幂的乘法
│   ├── 幂的概念
│   ├── a<sup>m</sup> · a<sup>n</sup> = a<sup>m+n</sup>
│   └── 推广到多个同底数幂相乘
├── 幂的乘方与积的乘方
│   ├── 幂的乘方：(a<sup>m</sup>)<sup>n</sup> = a<sup>mn</sup>
│   ├── 积的乘方：(ab)<sup>n</sup> = a<sup>n</sup>b<sup>n</sup>
│   └── 推广：(abc)<sup>n</sup> = a<sup>n</sup>b<sup>n</sup>c<sup>n</sup>
├── 同底数幂的除法
│   ├── a<sup>m</sup> ÷ a<sup>n</sup> = a<sup>m-n</sup>（a≠0）
│   ├── 零指数幂：a<sup>0</sup> = 1（a≠0）
│   ├── 负整数指数幂：a<sup>-p</sup> = 1/a<sup>p</sup>
│   └── 科学记数法表示小数
├── 整式的乘法
│   ├── 单项式 × 单项式
│   ├── 单项式 × 多项式
│   └── 多项式 × 多项式
├── 乘法公式
│   ├── 平方差公式：(a+b)(a-b) = a<sup>2</sup>-b<sup>2</sup>
│   ├── 完全平方公式：(a±b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup>±2ab+b<sup>2</sup>
│   └── 公式的变形与推广
└── 整式的除法
    ├── 单项式 ÷ 单项式
    └── 多项式 ÷ 单项式

📌 笔记区

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