02 - 随机变量及其分布

知识点1 离散型随机变量及其分布列

1. 随机变量的概念

一般地，如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，常用大写字母 X, Y, ξ, η 等表示。

所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量。

💡 说明：随机变量是这样一种变量——随着试验结果的变化而取不同的值，在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预知它取什么值。

2. 分布列

一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x₁, x₂, …, xₙ，且：

用表格表示为：

这个表格称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称分布列。

3. 分布列的性质

• （非负性）pᵢ ≥ 0, i = 1, 2, …, n
• （归一性）p₁ + p₂ + … + pₙ = 1

知识点2 两点分布（伯努利分布）

1. 定义

如果随机变量 X 的分布列为：

其中 0 < p < 1，则称 X 服从两点分布（或0-1分布、伯努利分布）。

💡 说明：两点分布是最简单、最基本的离散分布，它描述了只有两种可能结果的随机试验（如抛硬币、成功/失败等）。

例：抛一枚质地均匀的硬币一次，记正面朝上为1，反面朝上为0，则 X 服从参数 p = 0.5 的两点分布。

知识点3 二项分布

1. n 次独立重复试验

在相同条件下重复做的 n 次试验称为n 次独立重复试验。其特点是： - 每次试验只有两个可能的结果（"成功"或"失败"）； - 每次试验"成功"的概率相同，均为 p； - 各次试验的结果相互独立。

2. 二项分布的定义

在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A（"成功"）发生的次数，则：

此时称随机变量 X 服从二项分布，记为：

其中 n 为试验次数，p 为每次试验成功的概率。

💡 说明：二项分布的本质是 n 重伯努利试验中成功次数的分布。两点分布就是 n=1 时的二项分布 B(1, p)。

3. 二项分布的均值与方差

若 X ~ B(n, p)，则：

例：某射手每次射击命中目标的概率为 0.8，独立射击 5 次，求命中次数 X 的分布列、期望和方差。

解：X ~ B(5, 0.8)， P(X = k) = C(5, k) · 0.8ᵏ · 0.2^(5-k)， E(X) = 5 × 0.8 = 4， D(X) = 5 × 0.8 × 0.2 = 0.8。

知识点4 超几何分布

1. 定义

设有总数为 N 件的物品，其中 M 件为次品（或某种特定类型）。从中不放回地抽取 n 件，用 X 表示这 n 件中次品的件数，则 X 的分布列为：

此时称随机变量 X 服从超几何分布。

2. 超几何分布的均值

💡 说明：超几何分布与二项分布的主要区别在于：超几何分布是不放回抽样，各次抽取不独立；二项分布是有放回抽样（或总体很大时近似），各次抽取独立。当 N 很大而 n 相对较小时，超几何分布可近似为二项分布 B(n, M/N)。

例：一箱中有 10 件产品，其中 3 件不合格。从中不放回抽取 4 件，求抽到不合格品件数 X 的分布列中 X=2 的概率。

解：P(X = 2) = C(3,2) · C(7,2) / C(10,4) = 3 × 21 / 210 = 63/210 = 3/10 = 0.3。

知识点5 离散型随机变量的均值（期望）与方差

1. 均值（数学期望）

一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为 P(X = xᵢ) = pᵢ，则：

称为随机变量 X 的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

2. 均值的性质

• E(aX + b) = aE(X) + b
• 若 X 与 Y 独立，则 E(X + Y) = E(X) + E(Y)
• 若 X 与 Y 独立，则 E(XY) = E(X) · E(Y)

3. 方差

称 D(X) 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量取值偏离均值的平均程度。σ(X) = √D(X) 称为标准差。

💡 说明：方差越小，说明取值越集中在均值附近，越稳定；方差越大，说明取值越分散。

4. 方差的性质

• D(aX + b) = a² D(X)
• 若 X 与 Y 独立，则 D(X + Y) = D(X) + D(Y)
• 计算方差的简便公式：D(X) = E(X²) - [E(X)]²

5. 常见分布的均值与方差总结

知识点6 正态分布

1. 定义

如果对于任何实数 a < b，随机变量 X 满足：

其中 φ_{μ,σ}(x) = 1/(√(2π)σ) · e^{-(x-μ)²/(2σ²)}，则称 X 服从参数为 μ, σ² 的正态分布，记为：

其密度曲线称为正态曲线。

💡 说明：μ 是均值，决定了曲线的中心位置；σ 是标准差，决定了曲线的"胖瘦"（分散程度）。σ 越大，曲线越矮胖；σ 越小，曲线越高瘦。

2. 正态曲线的性质

• 曲线关于直线 x = μ 对称；
• 在 x = μ 处达到最大值；
• 当 |x| → ∞ 时，曲线以 x 轴为渐近线；
• 曲线与 x 轴之间的面积为 1。

3. 标准正态分布

当 μ = 0, σ = 1 时的正态分布称为标准正态分布，记为 N(0, 1)。

任何一个正态分布都可以通过标准化变换转化为标准正态分布：

4. 3σ 原则

对于正态分布 X ~ N(μ, σ²)：

💡 说明：3σ 原则（三西格玛原则）表明，正态分布中取值几乎全部落在以均值为中心、3 倍标准差为半径的区间内，落在该区间外的概率不足 0.3%。这是质量控制等领域的重要依据。

5. 正态分布的应用

许多自然现象和社会现象都近似服从正态分布，如身高、体重、考试成绩、测量误差等。

例：已知某次考试数学成绩服从 N(70, 100)，求成绩在 60 到 80 分之间的概率比例。

解：μ = 70, σ = 10。60 到 80 即 μ ± σ，概率约为 68.27%。

易错点提醒

• ⚠️ 离散型与连续型随机变量：离散型取值可一一列举，连续型取值充满某个区间
• ⚠️ 分布列的归一性：p₁ + p₂ + … + pₙ = 1，可用此检验分布列是否正确
• ⚠️ 二项分布的条件：n 次独立重复试验，每次成功概率相同，各次试验相互独立
• ⚠️ 超几何分布 vs 二项分布：超几何分布是不放回抽样，二项分布是有放回抽样（或总体远大于样本量时近似）
• ⚠️ E(X) 与 D(X) 的性质：E(aX + b) = aE(X) + b，但 D(aX + b) = a²D(X)，注意 b 不影响方差
• ⚠️ 方差的简便公式：D(X) = E(X²) - [E(X)]²，比定义式计算更方便
• ⚠️ 正态分布的参数：N(μ, σ²) 中第二个参数是 σ²（方差），不是 σ（标准差）
• ⚠️ 3σ 原则：是近似值，68.27%、95.45%、99.73% 是理论精确值

方法技巧

1. 求分布列的步骤

1. 确定随机变量 X 的所有可能取值
2. 求出每个取值对应的概率
3. 列出分布列
4. 验证概率之和是否为 1

2. 二项分布的识别

判断一个随机变量是否服从二项分布，需确认： - 是否为 n 次独立重复试验 - 每次试验是否只有两个结果 - 每次试验成功的概率是否相同

3. 正态分布的概率计算

利用 3σ 原则和标准化变换： - 将 X ~ N(μ, σ²) 转化为 Z = (X - μ)/σ ~ N(0, 1) - 利用 3σ 原则估计概率 - 对称性：P(X ≤ μ) = P(X ≥ μ) = 0.5

4. 期望与方差的计算策略

• 优先使用性质：E(aX + b) = aE(X) + b，D(aX + b) = a²D(X)
• 方差用简便公式：D(X) = E(X²) - [E(X)]²
• 熟记常见分布的期望和方差

本章知识框架

选择性必修三·第七章 随机变量及其分布
├── 离散型随机变量及其分布列
│   ├── 随机变量的概念
│   ├── 分布列（非负性、归一性）
│   └── 两点分布
├── 二项分布
│   ├── n 次独立重复试验
│   ├── 二项分布 B(n, p)
│   └── 均值 E(X) = np, 方差 D(X) = np(1-p)
├── 超几何分布
│   ├── 不放回抽样
│   └── 均值 E(X) = nM/N
├── 离散型随机变量的均值与方差
│   ├── 均值 E(X) = Σ xᵢpᵢ
│   ├── 方差 D(X) = Σ [xᵢ - E(X)]²pᵢ
│   ├── 性质
│   │   ├── E(aX+b) = aE(X)+b
│   │   ├── D(aX+b) = a²D(X)
│   │   └── D(X) = E(X²) - [E(X)]²
│   └── 常见分布的均值与方差
└── 正态分布
    ├── N(μ, σ²) 的定义
    ├── 正态曲线的性质
    ├── 标准正态分布 N(0, 1)
    ├── 标准化变换 Z = (X-μ)/σ
    └── 3σ 原则

课后练习

1. 袋中有 3 个红球和 2 个白球，从中任取 2 个，设取到红球的个数为 X，求 X 的分布列。

2. 某人投篮命中率为 0.6，独立投篮 4 次，求至少命中 2 次的概率。

3. 已知随机变量 X 的分布列为：

求 E(X) 和 D(X)。

4. 已知 X ~ B(10, 0.3)，求 E(2X + 1) 和 D(2X + 1)。

5. 已知 X ~ N(2, 4)，求 P(0 < X < 4) 的近似值。

6. 一批产品共 50 件，其中 5 件不合格。从中不放回抽取 10 件，求抽到不合格品件数 X 的期望。

参考答案

1. X 可取 0, 1, 2。P(X=0) = C(2,2)/C(5,2) = 1/10，P(X=1) = C(3,1)C(2,1)/C(5,2) = 6/10，P(X=2) = C(3,2)/C(5,2) = 3/10。

2. X ~ B(4, 0.6)，P(X≥2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - 0.4⁴ - C(4,1)×0.6×0.4³ = 1 - 0.0256 - 0.1536 = 0.8208。

3. E(X) = -1×0.3 + 0×0.5 + 2×0.2 = 0.1。E(X²) = 1×0.3 + 0×0.5 + 4×0.2 = 1.1，D(X) = E(X²) - [E(X)]² = 1.1 - 0.01 = 1.09。

4. E(X) = 10×0.3 = 3, D(X) = 10×0.3×0.7 = 2.1。E(2X+1) = 2×3 + 1 = 7, D(2X+1) = 4×2.1 = 8.4。

5. μ = 2, σ = 2。0 < X < 4 即 μ - σ < X < μ + σ，概率约为 68.27%。

6. 超几何分布，E(X) = n × M/N = 10 × 5/50 = 1。

📌 笔记区

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