01 - 计数原理

知识点1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1. 分类加法计数原理

完成一件事，有 n 类不同方案。在第1类方案中有 m₁ 种不同的方法，在第2类方案中有 m₂ 种不同的方法，……，在第n类方案中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法。

💡 说明：分类加法计数原理的核心是"分类"——各类方法之间相互独立，用其中任何一类中的任何一种方法都可以完成这件事。

例：从甲地到乙地，可以乘火车（有3班）、乘飞机（有2班）、乘汽车（有5班），问共有多少种不同的走法？

解：N = 3 + 2 + 5 = 10 种。

2. 分步乘法计数原理

完成一件事，需要分成 n 个步骤。做第1步有 m₁ 种不同的方法，做第2步有 m₂ 种不同的方法，……，做第n步有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法。

💡 说明：分步乘法计数原理的核心是"分步"——各个步骤相互依存，只有依次完成所有步骤才算完成这件事。

例：从A地到B地有3条路，从B地到C地有4条路，问从A地经B地到C地有多少种不同的走法？

解：N = 3 × 4 = 12 种。

3. 两个原理的区别

知识点2 排列

1. 排列的定义

从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。

⚠️ 注意：排列与元素的顺序有关，相同的元素排列顺序不同属于不同的排列。

2. 排列数公式

从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 A(n, m)（或 P(n, m)）表示。

其中 n! = n × (n-1) × … × 2 × 1，规定 0! = 1。

特别地，当 m = n 时，称为全排列：

例：计算 A(5, 3) 和 A(6, 2)。

解：A(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60；A(6, 2) = 6 × 5 = 30。

3. 排列数性质

知识点3 组合

1. 组合的定义

从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。

💡 说明：组合与元素的顺序无关，只要元素相同就视为同一个组合。

2. 组合数公式

从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 C(n, m) 表示。

即 C(n, m) = n(n-1)(n-2)…(n-m+1) / m!。

例：计算 C(5, 2) 和 C(6, 3)。

解：C(5, 2) = 5×4 / 2×1 = 10；C(6, 3) = 6×5×4 / 3×2×1 = 20。

3. 组合数的性质

性质1（对称性）：

💡 说明：从 n 个元素中选 m 个，等价于从 n 个元素中不选 (n-m) 个。

性质2（递推关系）：

这个性质对应于杨辉三角（帕斯卡三角形）的递推关系。

性质3：

4. 排列与组合的区别

知识点4 二项式定理

1. 二项式定理

也可记为：

其中 C(n, r) 称为二项式系数。

2. 通项公式

展开式中的第 (r + 1) 项（通项）为：

其中 r = 0, 1, 2, …, n。

⚠️ 注意：通项是第 r+1 项，不是第 r 项。展开式共有 n+1 项。

例：求 (x + 2)⁵ 展开式中 x³ 的系数。

解：通项 T_{r+1} = C(5, r) x^(5-r) · 2^r。令 5 - r = 3，得 r = 2。故 x³ 的系数为 C(5, 2) × 2² = 10 × 4 = 40。

3. 二项式系数的性质

性质1（对称性）：与首末两端"等距离"的两个二项式系数相等。

性质2（增减性与最大值）：

当 r < (n-1)/2 时，C(n, r) 递增；当 r > (n-1)/2 时，C(n, r) 递减。 - 当 n 为偶数时，中间一项 C(n, n/2) 取得最大值； - 当 n 为奇数时，中间两项 C(n, (n-1)/2) 和 C(n, (n+1)/2) 相等且同时取得最大值。

性质3（二项式系数之和）：

性质4（奇数项与偶数项之和）：

4. 杨辉三角

二项式系数可以排列成杨辉三角（帕斯卡三角），其中每个数等于它上方两数之和，对应组合数性质 C(n, m) + C(n, m-1) = C(n+1, m)。

易错点提醒

• ⚠️ 分类与分步的混淆：分类用加法（各类方法独立），分步用乘法（各步骤依存）
• ⚠️ 排列与组合的混淆：排列考虑顺序，组合不考虑顺序。判断方法：交换两个元素的位置，结果是否改变
• ⚠️ 重复计数：分类时各类之间不能有重叠，否则会重复计数
• ⚠️ 遗漏情况：分类时要穷尽所有可能，不能遗漏
• ⚠️ 二项式定理的通项：第 r+1 项，不是第 r 项；展开式共 n+1 项
• ⚠️ 二项式系数与项的系数：二项式系数是 C(n, r)，项的系数还包含 a^(n-r) 和 b^r 的系数
• ⚠️ 特殊元素优先处理：排列组合中，有特殊要求的元素或位置要先处理
• ⚠️ 0! = 1：不要误认为 0! = 0

方法技巧

1. 排列组合常用解题策略

2. 二项式定理的应用

• 求特定项：利用通项公式 T_{r+1} = C(n,r) a^(n-r) b^r，令指数满足条件求 r
• 求系数之和：令 a = b = 1 得所有系数之和 = 2ⁿ
• 求奇数项/偶数项系数之和：令 a = 1, b = 1 和 a = 1, b = -1 联立求解
• 求最大二项式系数：根据 n 的奇偶性确定

3. 分配问题

• 相同元素的分配：用隔板法
• 不同元素的分配：先分组（组合），再分配（排列）
• 分组问题：平均分组要除以组数的阶乘（消去重复计数）

本章知识框架

选择性必修三·第六章 计数原理
├── 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
│   ├── 分类加法计数原理（加法）
│   ├── 分步乘法计数原理（乘法）
│   └── 两个原理的区别与联系
├── 排列
│   ├── 排列的定义（考虑顺序）
│   ├── 排列数公式 A(n,m) = n!/(n-m)!
│   └── 排列数性质
├── 组合
│   ├── 组合的定义（不考虑顺序）
│   ├── 组合数公式 C(n,m) = n!/[m!(n-m)!]
│   ├── 组合数性质
│   │   ├── 对称性 C(n,m) = C(n,n-m)
│   │   ├── 递推 C(n,m) + C(n,m-1) = C(n+1,m)
│   │   └── 求和 C(n,0) + … + C(n,n) = 2ⁿ
│   └── 排列与组合的关系 A(n,m) = C(n,m) × m!
└── 二项式定理
    ├── (a+b)ⁿ 的展开式
    ├── 通项公式 T_{r+1} = C(n,r)a^(n-r)b^r
    ├── 二项式系数的性质
    │   ├── 对称性
    │   ├── 增减性与最大值
    │   ├── 各项系数之和 = 2ⁿ
    │   └── 奇偶项系数之和 = 2^(n-1)
    └── 杨辉三角

课后练习

1. 从 5 名男生和 4 名女生中选出 3 人参加比赛，要求至少有 1 名女生，共有多少种选法？

2. 6 人站成一排，其中甲、乙两人必须相邻，共有多少种排法？

3. 5 人站成一排，其中甲、乙两人不相邻，共有多少种排法？

4. 求 (x - 2)⁶ 展开式中 x⁴ 的系数。

5. 求 (1 + x)¹⁰ 展开式中系数最大的项。

6. 将 10 个相同的小球放入 3 个不同的盒子中，每个盒子至少 1 个，共有多少种放法？

参考答案

1. 间接法：全部选法 C(9,3) = 84，全选男生 C(5,3) = 10，故至少 1 名女生的选法 = 84 - 10 = 74 种。

2. 捆绑法：甲乙视为一个整体，有 A(2,2) = 2 种排法，再与另外 4 人排列 A(5,5) = 120，共 2 × 120 = 240 种。

3. 间接法：全部排法 A(5,5) = 120，甲乙相邻 240/2 = 48（注意这是5人排列，甲乙相邻为 2 × A(4,4) = 48），故不相邻 = 120 - 48 = 72 种。或用插空法：先排另外 3 人 A(3,3) = 6，产生 4 个空隙，甲乙插入 A(4,2) = 12，共 6 × 12 = 72 种。

4. 通项 T_{r+1} = C(6,r) x^(6-r) (-2)^r，令 6 - r = 4，得 r = 2。x⁴ 的系数 = C(6,2) × (-2)² = 15 × 4 = 60。

5. n = 10 为偶数，中间项 T_6 = C(10,5) x⁵ = 252x⁵ 系数最大。

6. 隔板法：10 个球排成一排有 9 个间隔，插入 2 块隔板分成 3 组，C(9,2) = 36 种。

📌 笔记区

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