知识点1 变化率与导数
1. 平均变化率
函数 y = f(x) 从 x₁ 到 x₂ 的平均变化率为：
其几何意义是割线的斜率。
💡 说明：平均变化率反映了函数在某一段区间上的平均变化快慢程度。
2. 瞬时变化率
函数 y = f(x) 在 x = x₀ 处的瞬时变化率为：
瞬时变化率反映了函数在某一点处的瞬时变化快慢程度。
3. 导数的概念
函数 y = f(x) 在 x = x₀ 处的导数定义为：
也可写为：
如果函数 y = f(x) 在开区间 (a, b) 内每一点都可导，则称 f(x) 在 (a, b) 内可导，其导函数记为 f'(x) 或 y'。
⚠️ 注意：可导必连续，但连续不一定可导（如 y = |x| 在 x = 0 处连续但不可导）。
4. 导数的几何意义
函数 y = f(x) 在点 x₀ 处的导数 f'(x₀) 的几何意义是曲线 y = f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处的切线斜率。
切线方程：
例：求曲线 y = x² 在点 (1, 1) 处的切线方程。
解：f'(x) = 2x, f'(1) = 2，故切线方程为 y - 1 = 2(x - 1)，即 y = 2x - 1。
知识点2 导数的运算
1. 基本初等函数的导数公式
| 原函数 f(x) | 导函数 f'(x) |
|---|---|
| f(x) = C（常数） | f'(x) = 0 |
| f(x) = xᵃ（a ∈ Q*） | f'(x) = a·x^(a-1) |
| f(x) = sin x | f'(x) = cos x |
| f(x) = cos x | f'(x) = -sin x |
| f(x) = aˣ（a > 0, a ≠ 1） | f'(x) = aˣ · ln a |
| f(x) = eˣ | f'(x) = eˣ |
| f(x) = logₐ x（a > 0, a ≠ 1） | f'(x) = 1 / (x·ln a) |
| f(x) = ln x | f'(x) = 1/x |
2. 导数的四则运算法则
设 f(x) 和 g(x) 均可导，则：
| 运算 | 法则 |
|---|---|
| 和（差） | [f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x) |
| 积 | [f(x)·g(x)]' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x) |
| 商 | [f(x)/g(x)]' = [f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)] / [g(x)]²（其中 g(x) ≠ 0） |
| 数乘 | [C·f(x)]' = C·f'(x)（C为常数） |
3. 复合函数的求导
若 y = f(u)，u = g(x)，则复合函数 y = f(g(x)) 的导数为：
即链式法则：外层函数对内层函数求导，乘以内层函数对自变量求导。
例1：求 y = (2x + 1)³ 的导数。
解：令 u = 2x + 1，则 y = u³，y' = 3u² · 2 = 6(2x + 1)²。
例2：求 y = sin(3x) 的导数。
解：y' = cos(3x) · 3 = 3cos(3x)
例3：求 y = ln(x² + 1) 的导数。
解：y' = 1/(x² + 1) · 2x = 2x/(x² + 1)
知识点3 导数在研究函数中的应用
1. 函数的单调性
在某个区间 (a, b) 内：
- 若 f'(x) > 0，则 f(x) 在该区间内单调递增；
- 若 f'(x) < 0，则 f(x) 在该区间内单调递减；
- 若 f'(x) = 0（恒成立），则 f(x) 在该区间内为常值函数。
💡 说明：导数符号决定了函数的增减性。求单调区间的一般步骤：①求定义域；②求导函数 f'(x)；③解不等式 f'(x) > 0 和 f'(x) < 0；④确定单调区间。
例：讨论 f(x) = x³ - 3x 的单调性。
解：f'(x) = 3x² - 3 = 3(x + 1)(x - 1)
当 x < -1 或 x > 1 时，f'(x) > 0，f(x) 单调递增；当 -1 < x < 1 时，f'(x) < 0，f(x) 单调递减。
2. 函数的极值
极值的定义
设函数 y = f(x) 在点 x₀ 处连续，若存在 x₀ 的某个邻域，使得对该邻域内任意 x ≠ x₀：
- f(x) < f(x₀)，则 f(x₀) 为极大值，x₀ 为极大值点；
- f(x) > f(x₀)，则 f(x₀) 为极小值，x₀ 为极小值点。
极大值与极小值统称为极值。
⚠️ 注意：极值是一个局部概念，极大值不一定大于极小值。
驻点
使 f'(x) = 0 的点称为函数的驻点（临界点）。可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点（如 y = x³ 在 x = 0 处）。
极值点的判断
方法一（第一充分条件）：若在 x₀ 处 f'(x₀) = 0（或 f'(x₀) 不存在），且： - 在 x₀ 左侧 f'(x) > 0，右侧 f'(x) < 0 → x₀ 为极大值点 - 在 x₀ 左侧 f'(x) < 0，右侧 f'(x) > 0 → x₀ 为极小值点 - 两侧符号不变 → x₀ 不是极值点
方法二（第二充分条件）：若 f'(x₀) = 0 且 f''(x₀) ≠ 0，则： - f''(x₀) < 0 → x₀ 为极大值点 - f''(x₀) > 0 → x₀ 为极小值点
3. 函数的最值
在闭区间 [a, b] 上连续的函数必有最大值和最小值。
求最值步骤： 1. 求 f(x) 在 (a, b) 内的极值； 2. 将各极值与 f(a)、f(b) 比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。
例：求 f(x) = x³ - 3x 在 [-2, 2] 上的最大值和最小值。
解：f'(x) = 3x² - 3 = 3(x+1)(x-1)，驻点为 x = -1 和 x = 1。 f(-2) = -2, f(-1) = 2, f(1) = -2, f(2) = 2，所以最大值为 2，最小值为 -2。
知识点4 生活中的优化问题举例
1. 优化问题的基本思路
在实际生活中，常常需要解决在一定条件下的最优化问题，如利润最大、用料最省、效率最高等。利用导数求函数最值的方法是解决这类问题的有力工具。
2. 一般步骤
- 分析问题：理解题意，明确变量关系；
- 建立模型：设出变量，建立目标函数 y = f(x)，并注明定义域；
- 求解：求导 → 找临界点 → 判断极值 → 比较端点值得到最值；
- 作答：将数学结论还原为实际问题的解。
3. 典型应用
| 问题类型 | 常见目标 | 关键点 |
|---|---|---|
| 利润最大化 | 收入 - 成本 | 边际成本 = 边际收入时利润最大 |
| 用料最省 | 表面积最小 | 在约束条件下消元 |
| 容积最大 | 体积最大 | 将体积表示为单一变量的函数 |
| 速度/效率最优 | 总时间最短 | 涉及速度、距离、时间的函数 |
例：用总长为 L 的铁丝围成一个矩形，求面积的最大值。
解：设一边长为 x，则另一边长为 (L - 2x)/2。面积 S(x) = x·(L - 2x)/2 = (Lx - 2x²)/2（0 < x < L/2）。
S'(x) = (L - 4x)/2 = 0，得 x = L/4。
此时为正方形，最大面积 S = (L/4)² = L²/16。
易错点提醒
- ⚠️ 可导与连续：可导必连续，但连续不一定可导（如 y = |x| 在 x = 0 处连续但不可导）
- ⚠️ 导数公式中的条件：(xᵃ)' = a·x^(a-1) 要求 a 为有理数且 x > 0（当 a 不是正整数时）
- ⚠️ 复合函数求导：链式法则容易漏乘内层函数的导数，要一层一层剥
- ⚠️ 极值 ≠ 最值：极值是局部概念，最值是全局概念；极大值不一定大于极小值
- ⚠️ 驻点 ≠ 极值点：f'(x₀) = 0 是 x₀ 为极值点的必要条件，不是充分条件（如 y = x³ 在 x = 0 处）
- ⚠️ 单调性判断：f'(x) > 0 是 f(x) 单调递增的充分条件，但不是必要条件（如 f(x) = x³ 在 R 上递增但 f'(0) = 0）
- ⚠️ 切线方程：切点在曲线上，切点坐标 (x₀, f(x₀)) 必须满足曲线方程
- ⚠️ 优化问题的定义域：实际问题中必须注意变量的取值范围
方法技巧
1. 求导数的常用技巧
- 先化简再求导：如 y = (x+1)²/x 先展开为 y = x + 2 + 1/x 再求导
- 对数求导法：对 y = x^x 等幂指函数，两边取对数再求导
- 商的导数：可转化为积的导数 [f/g]' = [f·g⁻¹]'
2. 讨论函数单调性的步骤
- 求定义域
- 求导函数 f'(x)
- 解不等式 f'(x) > 0 和 f'(x) < 0
- 写出单调区间（注意区间端点）
3. 求极值的步骤
- 求 f'(x)
- 解方程 f'(x) = 0，找出驻点
- 用第一充分条件或第二充分条件判断极值
- 求出极值
4. 含参数的讨论策略
当导函数中含有参数时，需要分类讨论： - 按参数的取值范围讨论 f'(x) = 0 的根的个数 - 按根的大小关系讨论单调区间的变化 - 常见分界点：判别式 Δ = 0 对应的参数值
本章知识框架
选择性必修二·第五章 导数及其应用
├── 变化率与导数
│ ├── 平均变化率
│ ├── 瞬时变化率
│ ├── 导数的概念
│ └── 导数的几何意义（切线斜率）
├── 导数的运算
│ ├── 基本初等函数的导数公式
│ ├── 四则运算法则
│ └── 复合函数求导（链式法则）
├── 导数在研究函数中的应用
│ ├── 函数的单调性
│ │ ├── f'(x) > 0 → 递增
│ │ └── f'(x) < 0 → 递减
│ ├── 函数的极值
│ │ ├── 极大值与极小值
│ │ ├── 驻点与极值点
│ │ └── 判断方法（第一、第二充分条件）
│ └── 函数的最值
│ └── 闭区间上连续函数必有最值
└── 生活中的优化问题
├── 建立目标函数
├── 求解最值
└── 还原实际问题
课后练习
1. 求下列函数的导数： - (1) f(x) = 3x⁴ - 2x³ + x - 7 - (2) f(x) = eˣ · sin x - (3) f(x) = ln(2x + 1)
2. 求曲线 y = x³ - 3x 在点 (1, -2) 处的切线方程。
3. 求函数 f(x) = x³ - 3x² + 4 的单调递增区间和单调递减区间。
4. 求函数 f(x) = x³ - 3x 在区间 [-2, 3] 上的最大值和最小值。
5. 某工厂生产某种产品，日产量为 x 件时，总成本为 C(x) = 0.5x² + 10x + 200（元），每件产品售价 80 元。问日产量为多少时利润最大？
6. 已知 f(x) = x³ - ax 在 [1, +∞) 上是增函数，求实数 a 的取值范围。
参考答案
1. (1) f'(x) = 12x³ - 6x² + 1；(2) f'(x) = eˣ(sin x + cos x)；(3) f'(x) = 2/(2x + 1)。
2. f'(x) = 3x² - 3, f'(1) = 0，切线方程为 y = -2（水平切线）。
3. f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)。当 x < 0 或 x > 2 时 f'(x) > 0，递增；当 0 < x < 2 时 f'(x) < 0，递减。单调递增区间为 (-∞, 0) 和 (2, +∞)；单调递减区间为 (0, 2)。
4. f'(x) = 3x² - 3 = 3(x+1)(x-1)，驻点 x = -1 和 x = 1。f(-2) = -2, f(-1) = 2, f(1) = -2, f(3) = 18。最大值为 18，最小值为 -2。
5. 利润 L(x) = 80x - C(x) = -0.5x² + 70x - 200。L'(x) = -x + 70 = 0，得 x = 70。日产量为 70 件时利润最大。
6. f'(x) = 3x² - a，在 [1, +∞) 上递增需 f'(x) ≥ 0，即 3x² - a ≥ 0 在 [1, +∞) 上恒成立，故 a ≤ 3x² 在 [1, +∞) 上恒成立，a ≤ 3。
📌 笔记区
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