01 - 空间向量与立体几何

知识点一 空间向量及其运算

1. 空间向量的概念

在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模。

空间向量用有向线段表示，以 A 为起点、B 为终点的向量记作 \overrightarrow{AB}，也可用小写字母 \vec{a}、\vec{b}、\vec{c}……表示。

💡 说明：空间向量是平面向量的推广，平面向量的相关概念和结论在空间中仍然成立。空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此它们总是共面的。

2. 空间向量的加减法

加法法则：

减法：

减法可看作加上相反向量。

运算律： - 交换律：\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} - 结合律：(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})

3. 空间向量的数乘运算

实数 \lambda 与空间向量 \vec{a} 的乘积 \lambda\vec{a} 仍是一个向量，称为向量的数乘。

运算律： - 结合律：\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a} - 分配律：(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a} - 分配律：\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b}

4. 空间向量的数量积

定义：已知两个非零向量 \vec{a}、\vec{b}，则 \vert\vec{a}\vert \vert\vec{b}\vert \cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle 叫做 \vec{a} 与 \vec{b} 的数量积（或内积），记作：

其中 \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle 表示 \vec{a} 与 \vec{b} 的夹角，范围是 [0, \pi]。

⚠️ 注意：数量积的结果是一个实数，不是向量。

运算律： - 交换律：\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} - 分配律：\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} - 数乘结合律：(\lambda\vec{a}) \cdot \vec{b} = \lambda(\vec{a} \cdot \vec{b})

重要性质： - \vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 - \vec{a} \cdot \vec{a} = \vert\vec{a}\vert^2，即 \vert\vec{a}\vert = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} - \cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vert\vec{a}\vert \vert\vec{b}\vert}

5. 空间向量的坐标表示

在空间直角坐标系 Oxyz 中，分别取与 x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量 \vec{i}、\vec{j}、\vec{k} 作为基底，则空间中任一向量 \vec{a} 可唯一表示为：

有序实数组 (x, y, z) 叫做向量 \vec{a} 的坐标，记作 \vec{a} = (x, y, z)。

坐标运算：设 \vec{a} = (x_1, y_1, z_1)，\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)，则：

空间两点间的距离公式：设 A(x_1, y_1, z_1)，B(x_2, y_2, z_2)，则：

知识点二 空间向量基本定理

1. 共线向量定理

空间两个向量 \vec{a}、\vec{b}（\vec{a} \neq \vec{0}）共线的充要条件是存在唯一实数 \lambda，使得：

💡 说明：共线向量定理是判断三点共线的理论依据。若 \overrightarrow{AB} = \lambda\overrightarrow{AC}，则 A、B、C 三点共线。

2. 共面向量定理

如果两个向量 \vec{a}、\vec{b} 不共线，那么向量 \vec{p} 与 \vec{a}、\vec{b} 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x, y)，使得：

💡 说明：共面向量定理是判断四点共面的理论依据。若 \overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC} 且 x + y + z = 1，则 P、A、B、C 四点共面。

3. 空间向量基本定理

如果三个向量 \vec{a}、\vec{b}、\vec{c} 不共面，那么对空间任一向量 \vec{p}，存在唯一的有序实数组 (x, y, z)，使得：

其中 {\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}} 叫做空间的一个基底，\vec{a}、\vec{b}、\vec{c} 都叫做基向量。

💡 说明：空间向量基本定理是空间向量坐标表示的理论基础。特别地，取单位正交基底 {\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}} 时，就得到了空间直角坐标系下的坐标表示。

知识点三 空间向量的应用

1. 利用空间向量证明平行

（1）证明线线平行

设直线 l_1、l_2 的方向向量分别为 \vec{a}、\vec{b}，则：

（2）证明线面平行

设直线 l 的方向向量为 \vec{a}，平面 \alpha 的法向量为 \vec{n}，则：

⚠️ 注意：还需验证直线不在平面内（即直线上有一点不在平面内）。

（3）证明面面平行

设平面 \alpha、\beta 的法向量分别为 \vec{n}_1、\vec{n}_2，则：

2. 利用空间向量证明垂直

（1）证明线线垂直

设直线 l_1、l_2 的方向向量分别为 \vec{a}、\vec{b}，则：

（2）证明线面垂直

设直线 l 的方向向量为 \vec{a}，平面 \alpha 的法向量为 \vec{n}，则：

（3）证明面面垂直

设平面 \alpha、\beta 的法向量分别为 \vec{n}_1、\vec{n}_2，则：

3. 利用空间向量计算距离

（1）点到直线的距离

设点 P 到直线 l（过点 A，方向向量 \vec{a}）的距离为 d，则：

（2）点到平面的距离

设平面 \alpha 过点 A，法向量为 \vec{n}，则点 P 到平面 \alpha 的距离为：

💡 说明：这是空间向量法中最常用的距离公式，本质是求向量 \overrightarrow{AP} 在法向量 \vec{n} 上的投影的绝对值。

（3）异面直线间的距离

设两条异面直线 l_1、l_2 的方向向量分别为 \vec{a}、\vec{b}，分别过点 A、B，则它们之间的距离为：

其中 \vec{a} \times \vec{b} 表示向量 \vec{a} 与 \vec{b} 的向量积（叉积），其方向同时垂直于 \vec{a} 和 \vec{b}。

4. 利用空间向量计算夹角

（1）异面直线所成的角

设异面直线 l_1、l_2 的方向向量分别为 \vec{a}、\vec{b}，则它们所成角 \theta（0^\circ < \theta \leq 90^\circ）满足：

⚠️ 注意：异面直线所成角取锐角或直角，因此公式中要取绝对值。

（2）直线与平面所成的角

设直线 l 的方向向量为 \vec{a}，平面 \alpha 的法向量为 \vec{n}，则 l 与 \alpha 所成角 \theta（0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ）满足：

💡 说明：线面角是直线与它在平面内的投影所成的锐角，因此用 \sin 而非 \cos。

（3）二面角（两个平面的夹角）

设平面 \alpha、\beta 的法向量分别为 \vec{n}_1、\vec{n}_2，则二面角（或其补角）\theta 满足：

⚠️ 注意：二面角的平面角范围是 [0^\circ, 180^\circ]，需要结合图形判断二面角是锐角还是钝角，再决定是否取绝对值。

重点例题

例题1 空间向量的坐标运算

题目：已知 \vec{a} = (1, -2, 2)，\vec{b} = (2, 1, -1)，求： (1) \vec{a} \cdot \vec{b}；(2) \vert\vec{a}\vert 和 \vert\vec{b}\vert；(3) \cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle。

解析：

答案：(1) -2；(2) \vert\vec{a}\vert = 3，\vert\vec{b}\vert = \sqrt{6}；(3) -\dfrac{2}{3\sqrt{6}}

例题2 证明线面垂直

题目：如图，在正方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，求证：A_1C \perp \text{平面} BC_1D。

解析：建立空间直角坐标系（以 D 为原点，DA、DC、DD_1 所在直线分别为 x、y、z 轴），设棱长为 a。

则 A_1(a, 0, a)，C(0, a, 0)，B(a, a, 0)，C_1(0, a, a)，D(0, 0, 0)。

计算数量积：

所以 \overrightarrow{A_1C} \perp \overrightarrow{BC_1} 且 \overrightarrow{A_1C} \perp \overrightarrow{BD}，即 A_1C \perp BC_1 且 A_1C \perp BD。

又 BC_1 \cap BD = B，且 BC_1, BD \subset \text{平面} BC_1D，所以 A_1C \perp \text{平面} BC_1D。

例题3 求点到平面的距离

题目：在棱长为 2 的正方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，求点 B_1 到平面 A_1BC_1 的距离。

解析：建立空间直角坐标系，则 B_1(2, 2, 2)，A_1(2, 0, 2)，B(2, 2, 0)，C_1(0, 2, 2)。

求平面 A_1BC_1 的法向量 \vec{n} = (x, y, z)：

由 \vec{n} \cdot \overrightarrow{A_1B} = 0 和 \vec{n} \cdot \overrightarrow{A_1C_1} = 0：

取 \vec{n} = (1, 1, 1)。

答案：\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

易错点提醒

• ⚠️ 数量积与向量积的区别：数量积结果是实数，向量积（叉积）结果是向量，不要混淆
• ⚠️ 异面直线所成角的范围：(0^\circ, 90^\circ]，公式中取绝对值确保得到锐角或直角
• ⚠️ 线面角用 \sin：直线与平面所成角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值
• ⚠️ 二面角要判断锐钝：用法向量求二面角时，可能得到的是二面角的补角，需结合图形判断
• ⚠️ 共面向量定理中 \vec{a}、\vec{b} 必须不共线：若共线则退化为共线向量定理
• ⚠️ 建立坐标系要选好原点：尽量选择便于确定各点坐标的位置建系

方法技巧

1. 用向量法解立体几何问题的一般步骤

1. 建立坐标系：选取合适的空间直角坐标系，写出各点坐标
2. 求向量坐标：求出所需的方向向量和法向量
3. 代数运算：利用向量坐标公式进行计算
4. 几何还原：将计算结果还原为几何结论

2. 求平面法向量的方法

设平面内有两个不共线向量 \vec{a} = (x_1, y_1, z_1)，\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)，法向量 \vec{n} = (x, y, z) 满足：

解此方程组，取一组非零解即可（通常取最简单的整数解）。

3. 空间向量证明平行/垂直的对照表

本章知识框架

第一章 空间向量与立体几何
├── 空间向量及其运算
│   ├── 空间向量的概念（定义、模、零向量、单位向量）
│   ├── 空间向量的加减法（三角形法则、平行四边形法则）
│   ├── 空间向量的数乘运算（定义、运算律）
│   ├── 空间向量的数量积（定义、运算律、性质）
│   └── 空间向量的坐标表示
│       ├── 空间直角坐标系
│       ├── 向量的坐标运算（加减、数乘、数量积、模、夹角）
│       └── 空间两点间距离公式
├── 空间向量基本定理
│   ├── 共线向量定理（b = λa）
│   ├── 共面向量定理（p = xa + yb）
│   └── 空间向量基本定理（p = xa + yb + zc）
└── 空间向量的应用
    ├── 证明平行
    │   ├── 线线平行（方向向量共线）
    │   ├── 线面平行（方向向量 ⊥ 法向量）
    │   └── 面面平行（法向量共线）
    ├── 证明垂直
    │   ├── 线线垂直（方向向量垂直）
    │   ├── 线面垂直（方向向量 ∥ 法向量）
    │   └── 面面垂直（法向量垂直）
    └── 计算距离和夹角
        ├── 点到直线距离
        ├── 点到平面距离
        ├── 异面直线距离
        ├── 异面直线所成角（cosθ）
        ├── 直线与平面所成角（sinθ）
        └── 二面角/两平面夹角（cosθ）

📌 笔记区

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