知识点一 反比例函数的概念
1. 反比例函数的定义
反比例函数：形如 y = k/x（k 是常数，k ≠ 0）的函数。
💡 说明： - x 是自变量，y 是函数 - x 的取值范围是 x ≠ 0 的一切实数 - y 的取值范围是 y ≠ 0 的一切实数
2. 反比例函数的三种表达式
| 表达式 | 说明 |
|---|---|
| y = k/x | 基本形式 |
| y = kx⁻¹ | 指数形式 |
| xy = k | 乘积形式 |
知识点二 反比例函数的图像
1. 反比例函数的图像特征
反比例函数的图像：双曲线
| k 的符号 | 图像位置 | 图像特征 |
|---|---|---|
| k > 0 | 第一、三象限 | 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 |
| k < 0 | 第二、四象限 | 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 |
💡 注意：反比例函数的图像关于原点对称，关于直线 y = x 和 y = -x 对称。
2. 反比例函数图像的画法
- 列表：取 x 的一些值（注意正负都要取），计算出对应的 y 值
- 描点：在坐标系中描出各点
- 连线：用平滑的曲线连接各点（注意：不能连成折线，且曲线无限接近坐标轴但不相交）
知识点三 反比例函数的性质
1. 基本性质
| 性质 | 内容 |
|---|---|
| 定义域 | x ≠ 0 |
| 值域 | y ≠ 0 |
| 对称性 | 关于原点成中心对称 |
| 渐近线 | x 轴和 y 轴 |
2. 增减性
| k 的符号 | 在每个象限内的增减性 |
|---|---|
| k > 0 | y 随 x 的增大而减小 |
| k < 0 | y 随 x 的增大而增大 |
⚠️ 注意：说增减性时必须强调"在每个象限内"，不能说"在整个定义域内"。
3. |k| 的几何意义
过双曲线上任意一点 P(x, y) 作 x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为：
三角形面积为：
知识点四 反比例函数与一次函数的综合
1. 求交点坐标
联立反比例函数 y = k₁/x 和一次函数 y = k₂x + b 的解析式，解方程组即可。
2. 利用图像解不等式
| 不等式 | 解法 |
|---|---|
| k₁/x > k₂x + b | 找出反比例函数图像在一次函数图像上方时 x 的取值范围 |
| k₁/x < k₂x + b | 找出反比例函数图像在一次函数图像下方时 x 的取值范围 |
易错点提醒
- ⚠️ k ≠ 0：反比例函数中 k 不能为零。
- ⚠️ 增减性的前提：说增减性时必须强调"在每个象限内"。
- ⚠️ 图像与坐标轴的关系：反比例函数的图像无限接近坐标轴，但永不相交。
- ⚠️ |k| 的几何意义：矩形面积等于 |k|，不是 k。
- ⚠️ 反比例函数与正比例函数的交点：若相交，则两个交点关于原点对称。
课后练习
- （基础） 已知反比例函数 y = k/x 的图像经过点 (2, 3)，求 k 的值。
- （基础） 反比例函数 y = -4/x 的图像在第几象限？y 随 x 的增大如何变化？
- （基础） 已知点 A(1, y₁) 和 B(2, y₂) 都在反比例函数 y = 6/x 的图像上，比较 y₁ 和 y₂ 的大小。
- （中等） 反比例函数 y = k/x 的图像经过点 P(2, 3)，求 k 的值，并判断点 Q(-2, -3) 是否在该函数图像上。
- （中等） 如图，点 A 在反比例函数 y = 4/x 的图像上，AB ⊥ x 轴于点 B，求 △AOB 的面积。
- （中等·选择） 若反比例函数 y = (m+1)/x 的图像在第二、四象限，则 m 的取值范围是（ ）
- A. m > -1
- B. m < -1
- C. m > 0
-
D. m < 0
-
（中等） 已知反比例函数 y = k/x（k < 0）的图像上有两点 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，且 x₁ < x₂ < 0，比较 y₁ 与 y₂ 的大小。
- （中等） 如图，一次函数 y = x + 2 与反比例函数 y = k/x 的图像相交于点 A(1, m) 和点 B，求：（1）反比例函数的解析式；（2）点 B 的坐标。
- （挑战） 如图，点 P 是反比例函数 y = 6/x（x > 0）图像上的一点，PA ⊥ x 轴于点 A，PB ⊥ y 轴于点 B，求矩形 OAPB 的周长的最小值。（提示：设 P(a, 6/a)，利用基本不等式或函数性质求解）
- （挑战） 如图，直线 y = -x + 4 与反比例函数 y = k/x（k > 0）的图像交于 A、B 两点，与 x 轴交于点 C。若 AB = 2√2，求 k 的值和 △AOB 的面积。
参考答案： 1. k = xy = 2 × 3 = 6 2. k = -4 < 0，图像在第二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 3. y₁ = 6/1 = 6, y₂ = 6/2 = 3，所以 y₁ > y₂ 4. k = 2 × 3 = 6；将 Q(-2, -3) 代入 y = 6/x，左边 = -3，右边 = 6/(-2) = -3，所以点 Q 在函数图像上 5. 设 A(a, 4/a)，则 S△AOB = (1/2) × |a| × |4/a| = (1/2) × 4 = 2 6. B（图像在第二、四象限，则 m + 1 < 0，m < -1） 7. k < 0，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大；又 x₁ < x₂ < 0，所以 y₁ < y₂ 8. （1）将 A(1, m) 代入 y = x + 2 得 m = 3，所以 A(1, 3)，k = 1 × 3 = 3，反比例函数为 y = 3/x；（2）联立 x + 2 = 3/x，得 x² + 2x - 3 = 0，x = 1 或 x = -3，所以 B(-3, -1) 9. 设 P(a, 6/a)（a > 0），矩形周长 C = 2(a + 6/a) ≥ 2 × 2√(a × 6/a) = 4√6，当且仅当 a = 6/a 即 a = √6 时取等号，最小值为 4√6 10. 联立 y = -x + 4 与 y = k/x，得 x² - 4x + k = 0。设 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，则 x₁ + x₂ = 4, x₁x₂ = k。AB = √[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²] = √[2(x₂-x₁)²] = √[2((x₁+x₂)²-4x₁x₂)] = √[2(16-4k)] = 2√2，解得 k = 3。C(4, 0)，S△AOB = S△AOC - S△BOC = (1/2) × 4 × |y_A - y_B| = ... = 4（具体计算略）
📌 笔记区
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