知识点一 椭圆
1. 椭圆的定义
平面内与两个定点 F_1、F_2 的距离之和等于常数（大于 \vert F_1F_2\vert）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
💡 说明：若 2a = 2c，轨迹是线段 F_1F_2；若 2a < 2c，无轨迹。
2. 椭圆的标准方程
| 焦点位置 | 标准方程 | 焦点坐标 | a, b, c 关系 |
|---|---|---|---|
| 焦点在 x 轴上 | \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1（a > b > 0） | F_1(-c, 0), F_2(c, 0) | a^2 = b^2 + c^2 |
| 焦点在 y 轴上 | \dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1（a > b > 0） | F_1(0, -c), F_2(0, c) | a^2 = b^2 + c^2 |
💡 记忆技巧：看分母哪个大，焦点就在哪个轴上。分母大的对应 a^2，分母小的对应 b^2。
3. 椭圆的几何性质
以椭圆 \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1（a > b > 0）为例：
| 性质 | 内容 |
|---|---|
| 范围 | \vert x\vert \leq a，\vert y\vert \leq b |
| 对称性 | 关于 x 轴、y 轴和原点都对称（既是轴对称又是中心对称） |
| 顶点 | A_1(-a, 0), A_2(a, 0), B_1(0, -b), B_2(0, b) |
| 长轴 | 线段 A_1A_2，长轴长 2a |
| 短轴 | 线段 B_1B_2，短轴长 2b |
| 焦点 | F_1(-c, 0), F_2(c, 0) |
| 焦距 | \vert F_1F_2\vert = 2c |
4. 椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长的比 e = \dfrac{c}{a} 叫做椭圆的离心率。
| e 的大小 | 椭圆形状 |
|---|---|
| e \to 0（c \to 0） | 椭圆越圆（趋近于圆） |
| e \to 1（c \to a） | 椭圆越扁 |
💡 说明：e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆。当 e = 0 时，椭圆退化为圆。
5. 焦点三角形
椭圆上任一点 P 与两焦点 F_1、F_2 组成的三角形 \triangle PF_1F_2 叫做焦点三角形。
设 \angle F_1PF_2 = \theta，则焦点三角形的面积为：
周长：\vert PF_1\vert + \vert PF_2\vert + \vert F_1F_2\vert = 2a + 2c
知识点二 双曲线
1. 双曲线的定义
平面内与两个定点 F_1、F_2 的距离之差的绝对值等于常数（小于 \vert F_1F_2\vert）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
💡 说明：若 2a = 2c，轨迹是两条射线；若 2a > 2c，无轨迹；若 2a = 0，轨迹是线段 F_1F_2 的中垂线。
2. 双曲线的标准方程
| 焦点位置 | 标准方程 | 焦点坐标 | a, b, c 关系 |
|---|---|---|---|
| 焦点在 x 轴上 | \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1（a > 0, b > 0） | F_1(-c, 0), F_2(c, 0) | c^2 = a^2 + b^2 |
| 焦点在 y 轴上 | \dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1（a > 0, b > 0） | F_1(0, -c), F_2(0, c) | c^2 = a^2 + b^2 |
⚠️ 注意：双曲线中 c^2 = a^2 + b^2（c 最大），与椭圆不同（椭圆中 a^2 = b^2 + c^2，a 最大）。
判断焦点位置：看 x^2 和 y^2 的系数符号——系数为正的变量对应的轴上才有焦点。
3. 双曲线的几何性质
以双曲线 \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1（a > 0, b > 0）为例：
| 性质 | 内容 |
|---|---|
| 范围 | x \leq -a 或 x \geq a，y \in \mathbb{R} |
| 对称性 | 关于 x 轴、y 轴和原点都对称 |
| 顶点 | A_1(-a, 0), A_2(a, 0) |
| 实轴 | 线段 A_1A_2，实轴长 2a |
| 虚轴 | 线段 B_1B_2（B_1(0, -b), B_2(0, b)），虚轴长 2b |
| 焦点 | F_1(-c, 0), F_2(c, 0) |
| 焦距 | \vert F_1F_2\vert = 2c |
4. 双曲线的渐近线
双曲线 \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 的渐近线方程为：
双曲线 \dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1 的渐近线方程为：
💡 记忆技巧：把标准方程右边 1 换成 0，解出 y 即得