01 - 集合与常用逻辑用语

知识点一 集合的概念

1. 集合的定义

集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。这些对象称为该集合的元素。

通常用大写拉丁字母 A、B、C……表示集合，用小写拉丁字母 a、b、c……表示元素。

💡 说明：集合是现代数学的基础概念，贯穿于整个数学体系。集合论的基本思想是：把一些确定的对象作为一个整体来研究。

2. 集合中元素的特征

⚠️ 注意：三个特征缺一不可。没有确定性就不能判断元素是否属于集合；没有互异性就会出现重复元素；没有无序性则集合与序列无法区分。

3. 元素与集合的关系

⚠️ 易错点：∈ 和 ∉ 只能用于元素与集合之间，不能用于集合与集合之间。

4. 常用数集及其记法

5. 集合的表示方法

💡 选择建议：元素个数较少且有限时用列举法；元素有共同的明显特征时用描述法。

知识点二 集合间的基本关系

1. 子集

如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 称为集合 B 的子集，记作：

读作"A 包含于 B"（或"B 包含 A"）。

💡 规定：空集是任何集合的子集，即 ∅ ⊆ A。

2. 集合相等

如果 A ⊆ B 且 B ⊆ A，则称集合 A 与集合 B 相等，记作：

3. 真子集

如果 A ⊆ B，且 A ≠ B（即存在元素 x ∈ B 但 x ∉ A），则称集合 A 是集合 B 的真子集，记作：

⚠️ 易错点：⊆ 允许相等，⫋ 不允许相等。空集是任何非空集合的真子集。

4. 空集

不含任何元素的集合叫做空集，记作 ∅。

⚠️ 易错点： - ∅ 与 {∅} 不同：∅ 不含任何元素，{∅} 含有一个元素（即空集本身） - ∅ 与 {0} 不同：{0} 含有一个元素 0

5. 子集个数规律

含有 n 个元素的集合：

知识点三 集合的基本运算

1. 并集

由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，叫做 A 与 B 的并集，记作：

性质： - A ∪ A = A - A ∪ ∅ = A - A ∪ B = B ∪ A（交换律） - A ⊆ (A ∪ B)，B ⊆ (A ∪ B)

2. 交集

由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，叫做 A 与 B 的交集，记作：

性质： - A ∩ A = A - A ∩ ∅ = ∅ - A ∩ B = B ∩ A（交换律） - (A ∩ B) ⊆ A，(A ∩ B) ⊆ B

3. 补集

对于一个集合 A，由全集 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合，叫做集合 A 相对于全集 U 的补集，记作：

性质： - A ∪ (∁_UA) = U - A ∩ (∁_UA) = ∅ - ∁_U(∁_UA) = A（补集的补集是原集） - ∁_UU = ∅，∁_U∅ = U

4. 德·摩根律

口诀：并的补等于补的交，交的补等于补的并。

知识点四 充分条件与必要条件

1. 命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题。

💡 通常用小写字母 p、q、r……表示命题。

2. 充分条件与必要条件

如果"若 p，则 q"为真命题（即 p ⇒ q），则：

记忆技巧：充分条件——"有它就行"；必要条件——"没它不行"。

3. 充要条件

如果 p ⇒ q 且 q ⇒ p（即 p ⇔ q），则称：

此时也说 p 与 q 等价。

4. 四种条件关系一览

知识点五 全称量词与存在量词

1. 全称量词

短语"所有的"、"任意一个"在逻辑中通常叫做全称量词，用符号"∀"表示。

含有全称量词的命题叫做全称量词命题，形式为：

读作"对任意 x 属于 M，有 p(x) 成立"。

2. 存在量词

短语"存在一个"、"至少有一个"在逻辑中通常叫做存在量词，用符号"∃"表示。

含有存在量词的命题叫做存在量词命题，形式为：

读作"存在 x 属于 M，使 p(x) 成立"。

3. 含有一个量词的命题的否定

口诀：全称变存在，存在变全称，结论全否定。

⚠️ 常见错误：否定全称量词命题时，不要写成"¬∀x ∈ M，p(x)"，而应写成"∃x ∈ M，¬p(x)"。

重点例题

例题1 集合运算

题目：已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，求 A ∩ B、A ∪ B、∁_UA、∁_U(A ∩ B)。

解析：

答案：A ∩ B = {3, 4}，A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，∁_UA = {5, 6, 7, 8}，∁_U(A ∩ B) = {1, 2, 5, 6, 7, 8}

例题2 充要条件的判断

题目：判断 p: x > 2 是 q: x > 1 的什么条件。

解析： - 若 x > 2，则必然 x > 1，所以 p ⇒ q 为真 - 若 x > 1，不一定 x > 2（如 x = 1.5），所以 q ⇒ p 为假

因此 p 是 q 的充分不必要条件。

答案：充分不必要条件

例题3 量词命题的否定

题目：写出命题"所有能被 2 整除的整数都是偶数"的否定。

解析：原命题是全称量词命题：∀x ∈ {能被 2 整除的整数}，x 是偶数

否定为：∃x ∈ {能被 2 整除的整数}，x 不是偶数

即："存在一个能被 2 整除的整数，它不是偶数"。

答案：存在一个能被 2 整除的整数，它不是偶数

易错点提醒

• ⚠️ 集合元素的互异性：写集合时注意检查是否有重复元素，如 {1, 1, 2} 必须写成 {1, 2}
• ⚠️ 空集与含空集的集合：∅ 是不含任何元素的集合，{∅} 是含有一个元素（空集）的集合，两者不同
• ⚠️ ∈ 与 ⊆ 的区别：∈ 用于元素与集合之间，⊆ 用于集合与集合之间
• ⚠️ 子集与真子集：A ⊆ B 包括 A = B 的情况，A ⫋ B 不包括
• ⚠️ 充分条件与必要条件混淆：p ⇒ q 时，p 是充分的、q 是必要的；可用"小范围推大范围"来记忆
• ⚠️ 量词命题的否定：全称变存在，存在变全称，结论要否定，不要只否定量词而忘记否定结论

方法技巧

1. 集合运算的解题策略

1. 明确集合元素：先用列举法或描述法明确每个集合的元素
2. 画 Venn 图：复杂运算建议画 Venn 图辅助分析
3. 逐一验证：用数轴法处理连续实数集合的运算
4. 验证结果：用元素验证法确认运算结果是否正确

2. 充要条件判断的快速方法

"小范围推大范围"原则： - 若 A ⊆ B，则 x ∈ A 是 x ∈ B 的充分不必要条件 - 若 A = B，则 x ∈ A 是 x ∈ B 的充要条件

符号判断法： - p ⇒ q 真 + q ⇒ p 假 → 充分不必要 - p ⇒ q 假 + q ⇒ p 真 → 必要不充分 - p ⇒ q 真 + q ⇒ p 真 → 充要 - p ⇒ q 假 + q ⇒ p 假 → 既不充分也不必要

3. 数轴法处理集合运算

对于实数集的子集，借助数轴直观表示集合关系，能快速准确地完成交集、并集、补集运算。

本章知识框架

第一章 集合与常用逻辑用语
├── 集合的概念
│   ├── 集合与元素的定义
│   ├── 元素的三大特征（确定性、互异性、无序性）
│   ├── 元素与集合的关系（∈、∉）
│   ├── 常用数集（N、N*、Z、Q、R）
│   └── 集合的表示方法（列举法、描述法、Venn图法）
├── 集合间的基本关系
│   ├── 子集（⊆）
│   ├── 真子集（⫋）
│   ├── 集合相等（=）
│   ├── 空集（∅）
│   └── 子集个数规律（2^n）
├── 集合的基本运算
│   ├── 并集（A ∪ B）
│   │   ├── 定义与性质
│   │   └── 数轴法
│   ├── 交集（A ∩ B）
│   │   ├── 定义与性质
│   │   └── 数轴法
│   ├── 补集（∁_U A）
│   │   ├── 定义与性质
│   │   └── 全集的概念
│   └── 德·摩根律
│       ├── 并的补 = 补的交
│       └── 交的补 = 补的并
├── 充分条件与必要条件
│   ├── 命题的概念
│   ├── 充分条件（p ⇒ q）
│   ├── 必要条件（q ⇒ p）
│   ├── 充要条件（p ⇔ q）
│   └── 四种条件关系判断
└── 全称量词与存在量词
    ├── 全称量词（∀）
    ├── 存在量词（∃）
    ├── 全称量词命题与存在量词命题
    └── 含有一个量词的命题的否定

课后练习

1. 用列举法表示集合 {x ∈ N | x² - 5x + 6 = 0}。

2. 已知集合 A = {1, 2, 3}，写出 A 的所有子集。

3. 设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5}，A = {1, 2}，B = {2, 3, 4}，求 (∁_UA) ∩ B。

4. 已知集合 A = {x | -2 < x < 3}，B = {x | 1 ≤ x ≤ 5}，求 A ∩ B 和 A ∪ B。

5. 判断 p: x = 2 是 q: x² = 4 的什么条件。

6. 写出命题"∃x ∈ R，x² + 2x + 3 = 0"的否定。

7. 已知集合 A = {x | x² - 3x + 2 = 0}，B = {x | 0 < x < 5, x ∈ N}，求 A ∩ B。

8. 设 A = {a, b, c}，求满足 A ∪ B = A 的集合 B 的个数。

9. 判断命题"∀x ∈ R，x² - 2x + 1 ≥ 0"的真假，并写出其否定形式。

10. 已知 p: -1 < x < 3，q: 0 < x < 2，判断 p 是 q 的什么条件。

参考答案

1. 解方程 x² - 5x + 6 = 0 得 x = 2 或 x = 3，且 x ∈ N，故 {2, 3}。

2. ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}（共 8 个）。

3. ∁_UA = {3, 4, 5}，(∁_UA) ∩ B = {3, 4}。

4. A ∩ B = {x | 1 ≤ x < 3}，A ∪ B = {x | -2 < x ≤ 5}。

5. p ⇒ q 真，q ⇒ p 假（x 还可以是 -2），故 p 是 q 的充分不必要条件。

6. ∀x ∈ R，x² + 2x + 3 ≠ 0。

7. A = {1, 2}，B = {1, 2, 3, 4}，故 A ∩ B = {1, 2}。

8. A ∪ B = A 等价于 B ⊆ A，A 有 3 个元素，子集共 2³ = 8 个，故 B 有 8 个。

9. 真命题（x² - 2x + 1 = (x-1)² ≥ 0 恒成立）。否定：∃x ∈ R，x² - 2x + 1 < 0。

10. q ⇒ p 真（(0, 2) ⊆ (-1, 3)），p ⇒ q 假，故 p 是 q 的必要不充分条件。

📌 笔记区

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