03 - 函数的概念与性质

知识点一 函数的概念及其表示

1. 函数的定义

设 A、B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作：

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x) | x ∈ A} 叫做函数的值域。

💡 核心要点：函数的本质是"非空数集到非空数集的映射"，关键特征是任意性（每个 x 都有对应）和唯一性（每个 x 只能对应一个 y）。

2. 函数的三要素

💡 判断两个函数是否相同：当且仅当定义域和对应关系完全相同时，两个函数才是同一个函数。值域由前两者决定，不是独立判断条件。

3. 函数的定义域——常见限制条件

⚠️ 复合函数定义域：若 y = f(g(x))，则 x 需满足 g(x) 在 f 的定义域内。

4. 函数的表示方法

5. 分段函数

在定义域的不同部分有不同的对应关系的函数，叫做分段函数。

⚠️ 注意：分段函数是一个函数，不是多个函数。其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

知识点二 函数的基本性质

1. 单调性

(1) 增函数与减函数

设函数 f(x) 的定义域为 I，区间 D ⊆ I：

💡 单调性判断方法：作差法（f(x₁) - f(x₂)）、作商法、图像观察法。

(2) 单调区间

如果函数 y = f(x) 在区间 D 上是增函数（或减函数），就说 f(x) 在区间 D 上具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 f(x) 的单调区间。

⚠️ 易错点：单调区间是定义域的子区间。多个单调区间之间用"逗号"隔开或"和"连接，不能用"∪"（因为"∪"表示在整个并集上单调，但可能不成立）。

2. 最大（小）值

设函数 y = f(x) 的定义域为 I：

• 如果存在实数 M，满足：① ∀x ∈ I，都有 f(x) ≤ M；② ∃x₀ ∈ I，使得 f(x₀) = M。则称 M 是函数 f(x) 的最大值。

• 如果存在实数 m，满足：① ∀x ∈ I，都有 f(x) ≥ m；② ∃x₀ ∈ I，使得 f(x₀) = m。则称 m 是函数 f(x) 的最小值。

3. 奇偶性

(1) 奇函数与偶函数

设函数 f(x) 的定义域为 I，且 I 关于原点对称：

⚠️ 前提条件：判断奇偶性之前，必须先确认定义域关于原点对称。如果定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。

(2) 奇偶性的性质

知识点三 幂函数

1. 幂函数的定义

一般地，函数 y = x^α 叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数。

💡 注意：幂函数的系数必须是 1，且底数是自变量 x（不能是 x 的表达式）。

2. 常见幂函数的图像与性质

3. 幂函数的一般性质

💡 所有幂函数都经过点 (1, 1)。

重点例题

例题1 求函数的定义域

题目：求函数 f(x) = √(x+2)/(x-1) 的定义域。

解析： 需要同时满足： - 偶次根式：x + 2 ≥ 0，即 x ≥ -2 - 分式分母：x - 1 ≠ 0，即 x ≠ 1

取交集：x ≥ -2 且 x ≠ 1

答案：[-2, 1) ∪ (1, +∞)

例题2 判断函数的单调性

题目：判断函数 f(x) = x + 1/x 在 (0, 1] 和 [1, +∞) 上的单调性。

解析： 设 0 < x₁ < x₂，则：

当 x₁, x₂ ∈ (0, 1] 时，1/(x₁x₂) > 1，1 - 1/(x₁x₂) < 0，而 x₁ - x₂ < 0，故 f(x₁) - f(x₂) > 0，f(x) 在 (0, 1] 上递减。

当 x₁, x₂ ∈ [1, +∞) 时，0 < 1/(x₁x₂) ≤ 1，1 - 1/(x₁x₂) ≥ 0，故 f(x₁) - f(x₂) < 0，f(x) 在 [1, +∞) 上递增。

答案：在 (0, 1] 上递减，在 [1, +∞) 上递增（即"对勾函数"）。

例题3 判断奇偶性

题目：判断函数 f(x) = x³ - x 的奇偶性。

解析： 定义域为 R，关于原点对称。

所以 f(x) 是奇函数。

答案：奇函数

易错点提醒

• ⚠️ 函数定义域优先：研究函数性质前，必须先确定定义域
• ⚠️ 两个函数相同的判断：只看定义域和对应关系，值域是派生的
• ⚠️ 分段函数是一个函数：定义域是各段定义域的并集
• ⚠️ 单调区间不能用"∪"连接：说明函数在几个区间上分别单调时，中间用逗号或"和"
• ⚠️ 奇偶性判断前先看定义域：定义域不关于原点对称就直接判为非奇非偶
• ⚠️ 幂函数系数必须是 1：y = 2x² 不是幂函数，y = (2x)² 也不是幂函数

方法技巧

1. 求函数定义域的方法

"逐个分析，求交集"： 1. 列出所有限制条件（分式分母、偶次根式、零指数底数等） 2. 分别解出每个条件的范围 3. 取所有范围的交集

2. 判断函数单调性的步骤

作差法： 1. 在区间内任取 x₁ < x₂ 2. 作差 f(x₁) - f(x₂) 3. 变形（通分、因式分解、配方等） 4. 判断差的符号 5. 得出结论

3. 利用奇偶性求值与解析式

• 若 f(x) 是奇函数且有 f(0) 定义，则 f(0) = 0
• 已知 x > 0 时的解析式，利用奇偶性可求 x < 0 时的解析式

本章知识框架

第三章 函数的概念与性质
├── 函数的概念及其表示
│   ├── 函数的定义（非空数集→非空数集，任意性+唯一性）
│   ├── 函数的三要素（定义域、值域、对应关系）
│   ├── 函数的定义域
│   │   ├── 分式型（分母≠0）
│   │   ├── 偶次根式型（被开方数≥0）
│   │   └── 零指数幂型（底数≠0）
│   ├── 函数的表示方法（解析法、列表法、图像法）
│   └── 分段函数
├── 函数的基本性质
│   ├── 单调性
│   │   ├── 增函数与减函数的定义
│   │   ├── 单调区间
│   │   └── 判断方法（作差法、图像法）
│   ├── 最大（小）值
│   │   ├── 最大值的定义（两个条件）
│   │   └── 最小值的定义（两个条件）
│   └── 奇偶性
│       ├── 偶函数（f(-x) = f(x)，关于y轴对称）
│       ├── 奇函数（f(-x) = -f(x)，关于原点对称）
│       ├── 判断方法
│       └── 奇偶函数的运算性质
└── 幂函数
    ├── 幂函数的定义（y = x^α）
    ├── 常见幂函数的图像与性质
    │   ├── y = x（奇，增）
    │   ├── y = x²（偶，先减后增）
    │   ├── y = x³（奇，增）
    │   ├── y = √x（非奇非偶，增）
    │   └── y = 1/x（奇，减）
    └── 幂函数的一般性质
        ├── α > 0：过(0,0)和(1,1)，在(0,+∞)上递增
        └── α < 0：过(1,1)，在(0,+∞)上递减

课后练习

1. 求函数 f(x) = √(4-x²)/(x-1) 的定义域。

2. 判断函数 f(x) = 2x² - 4x + 1 在 [1, 3] 上的单调性。

3. 若函数 f(x) = (2x+1)/(x-1)，求 f(2) 的值。

4. 判断函数 f(x) = |x| 的奇偶性。

5. 已知 f(x) 是奇函数，且当 x > 0 时 f(x) = x² + 1，求 f(-2)。

6. 求函数 f(x) = 1/(x² + 1) 的值域。

7. 判断函数 f(x) = x³ + 2x 的奇偶性。

8. 已知幂函数 y = x^α 的图像过点 (2, √2)，求 α 的值。

9. 若函数 f(x) = x² - 2ax + 3 在区间 [2, +∞) 上是增函数，求 a 的取值范围。

10. 已知函数 f(x) = x/(x²+1)，判断其奇偶性。

参考答案

1. 需满足 4-x² ≥ 0 且 x-1 ≠ 0，得 -2 ≤ x ≤ 2 且 x ≠ 1。定义域为 [-2, 1) ∪ (1, 2]。

2. f(x) = 2(x-1)² - 1，对称轴为 x = 1，开口向上。在 [1, 3] 上为增函数。

3. f(2) = (2×2+1)/(2-1) = 5/1 = 5。

4. f(-x) = |-x| = |x| = f(x)，且定义域为 R 关于原点对称，故为偶函数。

5. 奇函数有 f(-2) = -f(2) = -(2²+1) = -5。

6. x²+1 ≥ 1，故 0 < 1/(x²+1) ≤ 1，值域为 (0, 1]。

7. f(-x) = (-x)³ + 2(-x) = -x³ - 2x = -(x³+2x) = -f(x)，为奇函数。

8. 代入 (2, √2)：2^α = √2 = 2^1/2，故 α = 1/2。

9. 对称轴 x = a，开口向上，在 [a, +∞) 上递增。需 a ≤ 2。

10. f(-x) = (-x)/(x²+1) = -x/(x²+1) = -f(x)，定义域为 R，故为奇函数。

📌 笔记区

本文档由 AI 辅助生成，仅供参考学习使用