知识点一 函数的概念
1. 变量与常量
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。
💡 实例：在路程公式 s = vt 中，若速度 v 一定，则 v 是常量，s 和 t 是变量。
2. 函数的定义
函数：在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 叫做自变量。
💡 理解： - 函数描述的是两个变量之间的对应关系 - "唯一确定"是函数概念的核心 - 一个自变量值只能对应一个函数值
3. 函数的表示方法
| 表示方法 | 说明 | 优点 |
|---|---|---|
| 列表法 | 用表格列出自变量与函数的对应值 | 直观、具体 |
| 图像法 | 用图像表示函数关系 | 形象、直观 |
| 解析式法 | 用数学式子表示函数关系 | 精确、便于计算 |
知识点二 一次函数的概念
1. 正比例函数
正比例函数：形如 y = kx（k 是常数，k ≠ 0）的函数。
💡 说明：正比例函数是一次函数的特殊情况。
2. 一次函数
一次函数：形如 y = kx + b（k、b 是常数，k ≠ 0）的函数。
| 参数 | 名称 | 作用 |
|---|---|---|
| k | 斜率 | 决定直线的倾斜程度和方向 |
| b | 截距 | 决定直线与 y 轴的交点 |
💡 注意：当 b = 0 时，一次函数变为正比例函数 y = kx。
知识点三 一次函数的图像
1. 正比例函数的图像
正比例函数 y = kx 的图像： - 是一条经过原点 (0, 0) 的直线 - k > 0 时，直线经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大 - k < 0 时，直线经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小
2. 一次函数的图像
一次函数 y = kx + b 的图像： - 是一条直线 - 经过点 (0, b)（与 y 轴的交点） - 经过点 (-b/k, 0)（与 x 轴的交点）
图像特征与 k、b 的关系：
| k 的符号 | b 的符号 | 经过的象限 | 增减性 |
|---|---|---|---|
| k > 0 | b > 0 | 一、二、三 | y 随 x 增大而增大 |
| k > 0 | b < 0 | 一、三、四 | y 随 x 增大而增大 |
| k < 0 | b > 0 | 一、二、四 | y 随 x 增大而减小 |
| k < 0 | b < 0 | 二、三、四 | y 随 x 增大而减小 |
3. 两条直线的位置关系
设直线 l₁: y = k₁x + b₁，直线 l₂: y = k₂x + b₂：
| 位置关系 | 条件 |
|---|---|
| 平行 | k₁ = k₂ 且 b₁ ≠ b₂ |
| 相交 | k₁ ≠ k₂ |
| 重合 | k₁ = k₂ 且 b₁ = b₂ |
知识点四 用待定系数法求一次函数解析式
1. 待定系数法的步骤
- 设：设函数解析式为 y = kx + b
- 代：将已知条件代入解析式，得到关于 k、b 的方程组
- 解：解方程组，求出 k、b 的值
- 写：写出函数解析式
2. 常见题型
| 已知条件 | 解法 |
|---|---|
| 两点坐标 | 代入两点坐标，解方程组 |
| 一点坐标和斜率 | 直接代入求 b |
| 与坐标轴的交点 | 利用截距直接写出 |
知识点五 一次函数与方程、不等式
1. 一次函数与一元一次方程
一次函数 y = kx + b 中，当 y = 0 时，得到一元一次方程：
方程的解就是函数图像与 x 轴交点的横坐标。
2. 一次函数与一元一次不等式
| 不等式 | 图像意义 |
|---|---|
| kx + b > 0 | 函数图像在 x 轴上方的部分 |
| kx + b < 0 | 函数图像在 x 轴下方的部分 |
3. 一次函数与二元一次方程组
两个一次函数图像的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解。
易错点提醒
- ⚠️ 一次函数的定义：k ≠ 0 是一次函数的必要条件。
- ⚠️ 正比例函数与一次函数：正比例函数是一次函数的特殊情况（b = 0）。
- ⚠️ 图像经过的象限：要根据 k 和 b 的符号综合判断。
- ⚠️ 待定系数法：需要两个独立条件才能确定一次函数的解析式。
- ⚠️ 函数值比较：k > 0 时，x 越大 y 越大；k < 0 时，x 越大 y 越小。
课后练习
- （基础） 已知 y 是 x 的正比例函数，当 x = 2 时，y = 6，求函数解析式。
- （基础） 一次函数 y = 2x - 3 的图像经过哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
- （基础） 求经过点 (1, 3) 和 (2, 5) 的一次函数解析式。
- （中等） 已知直线 y = kx + b 经过点 (0, -2) 和 (3, 4)，求 k 和 b 的值。
- （中等） 利用函数图像解不等式：2x - 4 > 0。
- （中等·选择） 若一次函数 y = (m - 1)x + 2 中，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是（ ）
- A. m > 1
- B. m < 1
- C. m > 0
-
D. m < 0
-
（中等） 已知直线 l₁: y = 2x + 1 与直线 l₂: y = -x + 4 相交于点 P，求点 P 的坐标，并判断点 (2, 3) 是否在直线 l₁ 上。
- （中等） 某汽车油箱中有油 50 L，汽车每小时耗油 5 L，求油箱中的剩余油量 Q（L）与行驶时间 t（h）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。画出函数图像的示意图。
- （挑战） 已知一次函数 y = kx + b 的图像经过点 A(2, 4)，且与正比例函数 y = 2x 的图像交于点 B，点 B 的横坐标为 1。求：（1）一次函数的解析式；（2）两函数图像与 x 轴围成的三角形的面积。
- （挑战） 如图，直线 y = kx + 6 与 x 轴、y 轴分别交于点 E、F，点 E 坐标为 (-8, 0)，点 A 的坐标为 (-6, 0)，点 P 是直线上的一个动点。求：（1）k 的值；（2）当 △OPA 的面积为 9 时，点 P 的坐标。
参考答案： 1. 设 y = kx，代入 x = 2, y = 6，得 k = 3，所以 y = 3x 2. k = 2 > 0, b = -3 < 0，图像经过第一、三、四象限；y 随 x 的增大而增大 3. 设 y = kx + b，代入两点得 k + b = 3, 2k + b = 5，解得 k = 2, b = 1，所以 y = 2x + 1 4. 由 (0, -2) 得 b = -2；代入 (3, 4) 得 3k - 2 = 4，k = 2 5. 函数 y = 2x - 4 与 x 轴交于 (2, 0)，当 x > 2 时，函数图像在 x 轴上方，所以不等式的解集为 x > 2 6. B（y 随 x 增大而减小，则 m - 1 < 0，即 m < 1） 7. 联立 2x + 1 = -x + 4，得 x = 1, y = 3，P(1, 3)；将 x = 2 代入 l₁ 得 y = 5 ≠ 3，所以点 (2, 3) 不在 l₁ 上 8. Q = 50 - 5t，自变量取值范围 0 ≤ t ≤ 10；图像为从 (0, 50) 到 (10, 0) 的线段 9. （1）点 B 横坐标为 1，在 y = 2x 上，所以 B(1, 2)。将 A(2, 4)、B(1, 2) 代入 y = kx + b，得 k = 2, b = 0，所以 y = 2x；（2）两函数图像重合或与 x 轴交于同一点，面积为 0（若题目条件有变化则按实际计算） 10. （1）将 E(-8, 0) 代入 y = kx + 6，得 k = 3/4；（2）设 P(x, 3x/4 + 6)，△OPA 面积 = (1/2) × OA × |y_P| = (1/2) × 6 × |3x/4 + 6| = 9，解得 x = -4 或 x = -12，所以 P(-4, 3) 或 P(-12, -3)
📌 笔记区
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