知识点一 向量的基本概念
1. 向量的定义
在数学中，我们把既有大小又有方向的量称为向量。
- 数量：只有大小、没有方向的量称为数量（如长度、面积、质量等）
- 向量：既有大小、又有方向的量称为向量（如力、位移、速度等）
💡 说明：向量是数学中沟通代数、几何与三角的重要工具，在物理、工程等领域有广泛应用。
2. 向量的表示方法
| 表示方法 | 具体形式 | 说明 |
|---|---|---|
| 几何表示 | 用有向线段 AB→ 表示 | 以 A 为起点、B 为终点 |
| 字母表示 | 黑体小写字母 a 或带箭头 a→ | 印刷常用黑体，手写常用带箭头 |
3. 向量的模
向量 AB→ 的大小（即长度）叫做向量的模，记作 |AB→| 或 |a|。
- 向量的模是一个非负实数
- 模可以比较大小，但向量本身不能比较大小
⚠️ 注意：虽然向量不能比较大小，但向量的模（长度）是可以比较大小的。
4. 特殊向量
| 名称 | 定义 | 记法 | 图示特征 |
|---|---|---|---|
| 零向量 | 长度为 0 的向量 | 0 | 起点与终点重合，方向任意 |
| 单位向量 | 长度为 1 的向量 | e | 模等于 1 |
| 相等向量 | 长度相等且方向相同的向量 | a = b | 经平移后能完全重合 |
| 相反向量 | 长度相等且方向相反的向量 | a = -b | 与 a 反向等长 |
| 平行向量（共线向量） | 方向相同或相反的非零向量 | a ∥ b | 所在直线平行或重合 |
💡 重要规定：零向量与任意向量都平行（共线）。
⚠️ 易错点：相等向量一定是共线的，但共线向量不一定相等（方向可能相反）。共线向量所在的直线可以平行，也可以重合。
知识点二 向量的加法运算
1. 向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
2. 向量加法的法则
(1) 三角形法则
已知非零向量 a、b，在平面内任取一点 A，作 AB→ = a，BC→ = b，则向量 AC→ 叫做 a 与 b 的和，记作：
口诀：首尾相接，首尾连
(2) 平行四边形法则
以同一点 O 为起点作 OA→ = a，OB→ = b，以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB，则对角线 OC→ 即为 a + b。
口诀：共起点，对角线
💡 适用范围： - 三角形法则适用于任意两个向量的加法 - 平行四边形法则适用于不共线的两个向量的加法
3. 向量加法的运算律
| 运算律 | 公式 | 类比 |
|---|---|---|
| 交换律 | a + b = b + a | 与实数加法一致 |
| 结合律 | (a + b) + c = a + (b + c) | 与实数加法一致 |
💡 多向量求和：利用三角形法则，多个向量求和时，只要将这些向量依次首尾相接，那么第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，就是这些向量的和。
4. 向量加法的模的不等式
对于任意两个向量 a、b，有：
- 当 a 与 b 同向时，右边取等号：|a + b| = |a| + |b|
- 当 a 与 b 反向时，左边取等号：|a + b| = ||a| - |b||
知识点三 向量的减法运算
1. 向量减法的定义
与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记作 -a。
向量的减法：
2. 向量减法的几何意义（三角形法则）
在平面内任取一点 O，作 OA→ = a，OB→ = b，则：
口诀：共起点，连终点，指被减
即连接两个向量的终点，方向指向被减向量。
知识点四 向量的数乘运算
1. 数乘的定义
实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa：
| λ 的取值 | 长度 | 方向 |
|---|---|---|
| λ > 0 | λ | |
| λ < 0 | λ | |
| λ = 0 | 0 | 零向量 |
2. 数乘的运算律
| 运算律 | 公式 |
|---|---|
| 第一分配律 | (λ + μ)a = λa + μa |
| 第二分配律 | λ(a + b) = λa + λb |
| 结合律 | λ(μa) = (λμ)a |
3. 向量共线定理
向量 a（a ≠ 0）与 b 共线的充要条件是：
存在唯一一个实数 λ，使得：
💡 应用：这是判断三点共线的主要方法——若 AB→ = λ AC→，则 A、B、C 三点共线。
知识点五 向量的数量积
1. 数量积的定义
已知两个非零向量 a 和 b，θ 是它们的夹角（0 ≤ θ ≤ π），则数量 |a|·|b|·cos θ 叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作：
⚠️ 注意：数量积的运算结果是数量，不再是向量。规定零向量与任意向量的数量积为 0。
2. 夹角公式
由数量积的定义，可得两向量夹角的余弦公式：
3. 数量积的几何意义
数量积 a·b 等于 a 的模与 b 在 a 方向上的投影 |b|cos θ 的乘积。
4. 数量积的性质
设 a、b 是非零向量：
| 性质 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 模长公式 | a·a = | a |
| 垂直判据 | a⊥b ⇔ a·b = 0 | 最重要的垂直条件 |
| 同向判据 | a·b = | a |
| 反向判据 | a·b = - | a |
| 绝对值不等式 | a·b |
5. 数量积的运算律
| 运算律 | 公式 |
|---|---|
| 交换律 | a·b = b·a |
| 数乘结合律 | (λa)·b = λ(a·b) = a·(λb) |
| 分配律 | (a + b)·c = a·c + b·c |
⚠️ 注意：数量积不满足结合律，即 (a·b)·c ≠ a·(b·c)，因为 a·b 是数量，不能与向量做数量积。
知识点六 平面向量基本定理
1. 定理内容
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且仅有一对实数 λ1、λ2，使得：
其中，不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
💡 核心思想：平面内任意向量都可以用同一组基底唯一地线性表示。
2. 基底的选取
- 基底必须是两个不共线的向量
- 基底不唯一，可以自由选取
- 特殊基底：当 e1⊥e2 且 |e1| = |e2| = 1 时，称为正交单位基底
知识点七 平面向量的坐标表示
1. 向量的坐标
在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底。对于平面内任意向量 a，有且仅有一对实数 (x, y)，使得：
则有序数对 (x, y) 叫做向量 a 的坐标，记作 a = (x, y)。
2. 坐标运算公式汇总
设 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，λ ∈ R：
| 运算 | 坐标公式 |
|---|---|
| 加法 | a + b = (x1 + x2, y1 + y2) |
| 减法 | a - b = (x1 - x2, y1 - y2) |
| 数乘 | λa = (λx1, λy1) |
| 模 | |a| = √(x12 + y12) |
| 数量积 | a·b = x1x2 + y1y2 |
| 夹角 | cos θ = (x1x2 + y1y2)/(√(x12 + y12)·√(x22 + y22)) |
| 共线 | a∥b ⇔ x1y2 - x2y1 = 0 |
| 垂直 | a⊥b ⇔ x1x2 + y1y2 = 0 |
3. 两点间的向量
已知 A(x1, y1)，B(x2, y2)，则：
两点间距离（即 AB→ 的模）：
知识点八 平面向量在几何中的应用
1. 用向量方法解决平面几何问题的"三部曲"
- 建立表示：将几何元素（点、线段等）用向量表示
- 向量运算：通过向量运算研究几何元素之间的关系
- 翻译结果：把运算结果"翻译"成几何关系
2. 向量在三角形中的应用
| 几何结论 | 向量表示 |
|---|---|
| AD 是 BC 的中线 | AD→ = (1)/(2)(AB→ + AC→) |
| G 是 △ABC 的重心 | GA→ + GB→ + GC→ = 0 |
| A、B、C 三点共线 | 存在 λ 使 AB→ = λ AC→ |
| P 在 AB 上且 AP:PB = m:n | OP→ = (n·OA→ + m·OB→)/(m+n) |
知识点九 余弦定理与正弦定理
1. 余弦定理
在 △ABC 中，设角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，则：
💡 推论（求角公式）：由余弦定理变形可得：
cos A = (b2 + c2 - a2)/(2bc)其余两角同理。
余弦定理的用途： - 已知两边及其夹角，求第三边 → SAS 型 - 已知三边，求任意角 → SSS 型 - 判断三角形的形状（锐角/直角/钝角三角形）
💡 推广：勾股定理是余弦定理当 cos A = 0（即 A = 90°）时的特例。
2. 正弦定理
在 △ABC 中，设角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，R 为外接圆的半径，则：
正弦定理的变形： - a = 2R sin A，b = 2R sin B，c = 2R sin C - a : b : c = sin A : sin B : sin C
正弦定理的用途： - 已知两角及任一边，求其他边和角 → AAS / ASA 型 - 已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角 → SSA 型（注意有多解情况！）
3. 正、余弦定理的选择策略
| 已知条件 | 选用定理 |
|---|---|
| 已知三边（SSS） | 余弦定理求角 |
| 已知两边及夹角（SAS） | 余弦定理求第三边 |
| 已知两角及一边（AAS/ASA） | 正弦定理求其他边 |
| 已知两边及一边对角（SSA） | 正弦定理（注意多解） |
| 已知两边及其中一边对角，求第三边 | 可用余弦定理，解关于第三边的一元二次方程 |
重点例题
例题1 向量共线的判断
题目：已知向量 a = (1, 2)，b = (2, 4)，判断 a 与 b 是否共线。
解析：
因此 a∥b。
答案：a 与 b 共线（事实上 b = 2a）。
例题2 用余弦定理解三角形
题目：在 △ABC 中，已知 a = 7，b = 3，c = 8，求角 A 的大小。
解析： 由余弦定理：
所以 A = 60°。
答案：60°
例题3 用正弦定理解三角形
题目：在 △ABC 中，已知 A = 45°，B = 60°，a = 2，求 b。
解析： 由正弦定理：
答案：b = √6
易错点提醒
- ⚠️ 向量与数量的区别：向量有方向，不能直接比较大小；只有模（长度）可以比较大小
- ⚠️ 零向量的特殊性：零向量的方向是任意的，零向量与任何向量平行
- ⚠️ 共线与平行的区别：在向量中，平行和共线是同一个概念
- ⚠️ 数量积的运算结果：数量积是数量不是向量，不满足结合律
- ⚠️ 正弦定理的多解问题：已知两边及一角（SSA）时，可能有两解、一解或无解，必须讨论
- ⚠️ 向量坐标中共线条件的等价性：分母可能为零时，用 x1y2 = x2y1 判断，而不要用比例形式
方法技巧
1. 向量运算的统一方法——坐标法
将几何问题转化为代数问题：建系 → 坐标表示 → 坐标运算 → 得出结论。
适用场景：涉及直角、垂直或容易建系的几何图形。
2. 解三角形的策略
解题流程： 1. 分清已知条件类型 2. 根据"已知条件 → 选用定理"表选择合适的定理 3. 先求角还是先求边，按计算的方便程度决定 4. 使用正弦定理时，警惕多解情况
3. 数量积用于垂直证明
在几何证明中，证明两条线段垂直，只需证明对应方向向量的数量积为 0，这是最常用的技巧之一：
AB ⊥ CD ⇔ AB→ · CD→ = 0
本章知识框架
第6章 平面向量及其应用
├── 平面向量的概念
│ ├── 向量的定义（大小 + 方向）
│ ├── 向量的表示方法
│ ├── 向量的模
│ └── 特殊向量（零向量、单位向量、相等/相反/共线向量）
├── 平面向量的运算
│ ├── 加法运算
│ │ ├── 三角形法则（首尾相接，首尾连）
│ │ ├── 平行四边形法则（共起点，对角线）
│ │ └── 运算律（交换律、结合律）
│ ├── 减法运算（共起点，连终点，指被减）
│ ├── 数乘运算
│ │ ├── 定义与运算律
│ │ └── 向量共线定理
│ └── 向量的数量积
│ ├── 定义与几何意义
│ ├── 性质（模长、垂直判据）
│ └── 运算律
├── 平面向量基本定理及坐标表示
│ ├── 平面向量基本定理
│ ├── 正交分解与坐标表示
│ ├── 坐标运算公式汇总
│ └── 共线条件与垂直条件的坐标形式
├── 平面向量的应用
│ ├── 向量在几何中的应用
│ │ ├── 平面几何向量法
│ │ └── 向量在三角形中的应用
│ └── 余弦定理与正弦定理
│ ├── 余弦定理（SAS、SSS型）
│ ├── 正弦定理（AAS、ASA型）
│ └── 解三角形的策略选择
└── 向量与解三角形的综合应用
├── 距离问题
├── 角度问题
└── 物理中的应用（力、速度、位移）
📌 笔记区
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